Question

12．設(shè)A，B是雙曲線x²-y²=1上關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的兩點(diǎn)，將坐標(biāo)平面沿雙曲線的一條漸近線l折成直二面角，則折疊后線段AB長(zhǎng)度的最小值為（　　）

• A． $\sqrt{2\sqrt{2}}$
• B． $\sqrt{3\sqrt{2}}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 先利用平移與旋轉(zhuǎn)的知識(shí)，把雙曲線x²-y²=1按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)45°角，得到雙曲線y=$\frac{1}{2x}$的圖象，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：過(guò)原點(diǎn)的直線交雙曲線y=$\frac{1}{2x}$于A、B兩點(diǎn)，將坐標(biāo)平面沿直線y軸折成直二面角，求折后線段AB長(zhǎng)度的最小值，再利用空間中的垂直關(guān)系以及基本不等式的知識(shí)求出|AB|的最小值．

解答 解：∵雙曲線x²-y²=1是等軸雙曲線，漸近線方程為y=±x，
∴將雙曲線按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)45°角，得雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的圖象
∵雙曲線x²-y²=1的頂點(diǎn)（1，0），逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)45°
變?yōu)辄c(diǎn)（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
∴點(diǎn)（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在y=$\frac{k}{x}$的圖象上，可得k=$\frac{1}{2}$，
即雙曲線按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)45°角，得到雙曲線y=$\frac{1}{2x}$的圖象，
如圖1所示；
問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：過(guò)原點(diǎn)的直線交雙曲線y=$\frac{1}{2x}$于A、B兩點(diǎn)
將坐標(biāo)平面沿直線y軸折成直二面角，求折后線段AB長(zhǎng)度的最小值，
如圖2所示；
設(shè)A（t，$\frac{1}{2t}$）（t＞0），過(guò)點(diǎn)A作AM⊥y軸于M，連結(jié)MB，
可得M（0，$\frac{1}{2t}$），B（-t，-$\frac{1}{2t}$），
|MB|=$\sqrt{{（0+t）}^{2}{+（\frac{1}{2t}+\frac{1}{2t}）}^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}+\frac{1}{{t}^{2}}}$，
在折疊后的圖形中，Rt△AMB中，|AM|=t，
得|AB|²=|AM|²+|MB|²=2t²+$\frac{1}{{t}^{2}}$≥2$\sqrt{{2t}^{2}•\frac{1}{{t}^{2}}}$=2$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)t²=$\frac{1}{2}$，即t=$\frac{1}{\sqrt{2}}$時(shí)等號(hào)成立，
∴當(dāng)t=$\frac{1}{\sqrt{2}}$時(shí)，A坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）時(shí)，|AB|的最小值為$\sqrt{2\sqrt{2}}$．
綜上，折后線段AB長(zhǎng)度的最小值是$\sqrt{2\sqrt{2}}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面圖形的折疊問(wèn)題，也考查了兩點(diǎn)間的距離公式、面面垂直的性質(zhì)、勾股定理和基本不等式的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．