Question

18．已知定義在R上的函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}+a，x≤0}\\{ln（x+a），x＞0}\end{array}$，若方程f（x）=$\frac{1}{2}$有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（　　）

• A． -$\frac{1}{2}$≤a＜$\frac{1}{2}$
• B． $0≤a＜\frac{1}{2}$
• C． 0≤a＜1
• D． $-\frac{1}{2}＜a≤0$

Answer 1

分析 根據(jù)條件，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：當(dāng)x≤0時(shí)，a＜f（x）≤1+a，
若a≥0，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=ln（x+a）≥lna，
若方程f（x）=$\frac{1}{2}$有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
則$\left\{\begin{array}{l}{a＜\frac{1}{2}≤1+a}\\{lna＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＜\frac{1}{2}}\\{a≥-\frac{1}{2}}\\{a＜\sqrt{e}}\end{array}\right.$，得$-\frac{1}{2}$≤a＜$\frac{1}{2}$，
∵a≥0，∴0≤a＜$\frac{1}{2}$，
若a＜0，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=ln（x+a）∈R，即此時(shí)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$有一個(gè)解，
則當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}$有一個(gè)解即可，
此時(shí)滿足1+a≥$\frac{1}{2}$＞a，即可，
則-$\frac{1}{2}$≤a＜0，
綜上-$\frac{1}{2}$≤a＜$\frac{1}{2}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．注意分類討論的使用．