Question

如圖平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2AD=2，M為邊CD的中點，沿BM將△CBM折起使得平面BMC⊥平面ABMD．
（1）求四棱錐C-ADMB的體積；
（2）求折后直線AB與面AMC所成的角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）由已知得△CMB是等邊三角形，取MB的中點O，則CO⊥MB，又平面BMC⊥平面ABMD，CO=

3

2

，求出底面梯形的面積，再利用棱錐的體積公式解答；
（2）利用面面垂直的性質(zhì)和判定，找到折后直線AB與面AMC所成的角的平面角，然后求正弦值．

解答： 解：（1）由已知∠DAB=60°，AB=2AD=2，M為邊CD的中點，
所以△CMB是等邊三角形，
取MB的中點O，則CO⊥MB，又平面BMC⊥平面ABMD，CO=

3

2

，
所以S梯形ABCM=

AB+CM

2

×CO=

3

2

×

3

2

=

3 3

4

，
所以V四棱錐C-ADMB=

1

3

•

3 3

4

•

3

2

=

3

8

；
（2）因為∠DAB=60°，AB=2AD=2，M為邊CD的中點，
所以AM=2

3

，BM=2，
所以AM⊥BM，
又平面BMC⊥平面ABMD交線為BM，
所以AM⊥平面CMB，
所以平面AMC⊥平面BMC于MC，
由△CMB是等邊三角形，取CM的中點E，連接BE，則BE⊥CM，
所以BE⊥平面AMC，連接EA，則∠BAE是直線AB與平面AMC所成的角，
所以sin∠BAE=

BE

AB

=

3

4

．

點評：本題考查了折疊的問題，將平面圖折疊得到立體圖形，求幾何體的體積及空間角，屬于中檔題．