Question

15．已知實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-1≤0}\\{x+y-5≥0}\\{y-4≤0}\end{array}\right.$，若不等式a（x+y）≥x-y恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是[$\frac{3}{5}$，+∞）．

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區(qū)域，將不等式恒成立進行轉(zhuǎn)，求出目標函數(shù)的最值即可得到結(jié)論．

解答 解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：
則由圖象可知x＞0，y＞0，
則不等式a（x+y）≥x-y恒成立，
等價為不等式a≥$\frac{x-y}{x+y}$=$\frac{x+y-2y}{x+y}$=1-2$•\frac{y}{x+y}$=1-$\frac{2}{1+\frac{y}{x}}$恒成立，
設(shè)k=$\frac{y}{x}$，則k的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點到原點的斜率，
由圖象可知OA的斜率最大，OC的斜率最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{y-4=0}\\{x+y-5=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$，即A（1，4），
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-1=0}\\{x+y-5=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$，即C（2，3），
則OA的斜率k_OA=$\frac{4}{1}=4$，OC的斜率k_OC=$\frac{3}{2}$，
故$\frac{3}{2}$≤k≤4，
則$\frac{5}{2}$≤1+k≤5，$\frac{1}{5}$≤$\frac{1}{1+k}$≤$\frac{2}{5}$，
$\frac{2}{5}$≤$\frac{2}{1+k}$≤$\frac{4}{5}$，-$\frac{4}{5}$≤-$\frac{2}{1+k}$≤-$\frac{2}{5}$，
$\frac{1}{5}$≤1-$\frac{2}{1+k}$≤$\frac{3}{5}$，
即$\frac{x-y}{x+y}$的最大值為$\frac{3}{5}$，
則a≥$\frac{3}{5}$，
故答案為：[$\frac{3}{5}$，+∞）

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應用，根據(jù)條件將不等式進行轉(zhuǎn)化求出最值是解決本題的關(guān)鍵．