Question

1．如圖，在直角梯形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB＜CD，SD⊥平面ABCD，AB=AD=a，SD=2a．
（1）求證：平面SAB⊥平面SAD；
（2）設(shè)SB的中點為M，當(dāng)$\frac{CD}{AB}$為何值時，能使DM⊥MC？請給出證明．

Answer 1

分析 （1）由已知得平面ABCD⊥平面PMN，從而PD⊥AB，進而AB⊥平面PAD．由此能證明平面PAB⊥平面PAD．
（2）連結(jié)BD，設(shè)CD中點為N，連結(jié)BN，且DN=AB，BN∥AD，BN⊥CD，由已知得CB⊥BD，PD⊥BC，BC⊥平面PBD．由此能證明DM⊥MC．

解答 證明：（1）∵∠BAD=90°，∴AB⊥CD．
又SD⊥平面ABCD，AB⊆平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面SMN，
∴SD⊥AB．
∵SD∩AD=D，
∴AB⊥平面SAD．
又AB?平面SAB，∴平面SAB⊥平面SAD．
（2）$\frac{CD}{AB}$=2，能使DM⊥MC．
連結(jié)BD，∵∠BAD=90°，AB=AD=a，
∴BD=$\sqrt{2}$a，∴SD=BD，∠BDA=45°．
又M為SB中點，∴DM⊥SB…①．
設(shè)CD中點為N，連結(jié)BN，且DN=AB，
∴BN∥AD，BN⊥CD．∵CD=2AB，AB=AD，
∴CN=BN，即∠CBN=45°，
∴∠CBD=90°，CB⊥BD，
SD⊥平面ABCD，SD⊥BC，
∵SD∩BD=D，∴BC⊥平面SBD．
∵DM⊆平面PBD，∴BC⊥DM…②
由①②，∵PB∩BC=B，∴DM⊥平面PBC，
而CM?平面SBC，∴DM⊥MC．

點評 本題考查平面與平面垂直的證明，考查異面直線垂直的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．