Question

11．已知數(shù)列{a_n}，S_n是其前n項和，滿足${S_n}+{S_{n+1}}=2{n^2}+b$，a₁=a．
（1）若a=b=1，
（i）求出a₂，a₃的值；
（ii）求{a_n}的通項公式．
（2）是否存在一個各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{b_n}，存在一個數(shù)列{a_n}滿足a_n=lnb_n，如果存在，求出{a_n}和{b_n}的通項公式，如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）（i）由已知數(shù)列遞推式結(jié)合a=b=1求得a₂，a₃的值；
（ii）把已知數(shù)列遞推式變形為$2{S}_{n}+{a}_{n+1}=2{n}^{2}+1$，當(dāng)n≥2時，$2{S_{n-1}}+{a_n}=2{（{n-1}）^2}+1$，兩式作差可得a_n+a_n+1=4n-2，進(jìn)一步得到a_n+2-a_n=4．然后分n為偶數(shù)和n為奇數(shù)求得數(shù)列通項公式；
（2）假設(shè)存在這樣的{a_n}和{b_n}，結(jié)合$2{S}_{n}+{a}_{n+1}=2{n}^{2}+b$，a₁=a，求得a₂，a₃，a₄，由e^a，e^2+b-2a，e^2a+4-b，e^6+2b-a成等比，列式解得a=0，b=0．然后驗證a=0，b=0時，數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，并進(jìn)一步求得數(shù)列{b_n}的通項公式．

解答 解：（1）（i）由題可得${a_1}+{a_1}+{a_2}=2×{1^2}+1$，∴a₂=1，
${a_1}+{a_2}+{a_1}+{a_2}+{a_3}=2×{2^2}+1$，∴a₃=5；
（ii）由題意，即$2{S}_{n}+{a}_{n+1}=2{n}^{2}+1$，
當(dāng)n≥2時，$2{S_{n-1}}+{a_n}=2{（{n-1}）^2}+1$，作差可得2a_n+a_n+1-a_n=4n-2，
即a_n+a_n+1=4n-2，∴a_n+1+a_n+2=4（n+1）-2．
作差可得a_n+2-a_n=4．
當(dāng)n為偶數(shù)時，${a_n}={a_2}+4×（{\frac{n-2}{2}+1-1}）=2n-3$；
當(dāng)為奇數(shù)時，${a_n}={a_3}+4×（{\frac{n-3}{2}+1-1}）=2n-1$．
經(jīng)檢驗，n=1也符合．
綜上，${a_n}=\left\{{\begin{array}{l}{2n-1，n=2k-1}\\{2n-3，n=2k}\end{array}}\right.，k∈{N^*}$；
（2）假設(shè)存在這樣的{a_n}和{b_n}，那么$2{S}_{n}+{a}_{n+1}=2{n}^{2}+b$，
∵a₁=a，2a₁+a₂=2+b，∴a₂=2+b-2a，S₂=2+b-a，
∴2S₂+a₃=8+b，a₃=2a+4-b，S₃=a+6，
∴2S₃+a₄=18+b，∴a₄=6+2b-a，
∴e^a，e^2+b-2a，e^2a+4-b，e^6+2b-a成等比，可得
e^a•e^2a+4-b=（e^2+b-2a）²，e^2+b-2a•e^6+2b-a=（e^2a+4-b）²．
即$\left\{\begin{array}{l}{a+2a+4-b=2（2+b-2a）}\\{2+b-2a+6+2b-a=2（2a+4-b）}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=0}\end{array}\right.$．
下面檢驗當(dāng)a=0，b=0時，數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列．
由題得a₁=0，${S_n}+{S_{n+1}}=2{n^2}$，
當(dāng)n≥2時，
∴${S_{n-1}}+{S_n}=2{（{n-1}）^2}$，
作差可得a_n+a_n+1=4n-2，
a₂=2-2S₁=2，顯然n=1時也符合上式．
∴a_n+2+a_n+1=4n+2，可得a_n+2-a_n=4．
當(dāng)n為偶數(shù)時，${a_n}={a_2}+（{\frac{n-2}{2}+1-1}）×4=2+2n-4=2n-2$，
當(dāng)n為奇數(shù)時，${a_n}={a_1}+（{\frac{n-1}{2}+1-1}）×4=2n-2$．
∴a_n=2n-2
那么${b_n}={e^{a_n}}={e^{2n-2}}$，$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=\frac{{{e^{2n}}}}{{{e^{2n-2}}}}={e^2}$是等比數(shù)列，
∴存在這樣的等比數(shù)列{b_n}和數(shù)列{a_n}，使得等式成立，
${a}_{n}=2n-2，_{n}={e}^{2n-2}$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，考查數(shù)列的函數(shù)特性，考查邏輯思維能力和推理論證能力，屬難題．