Question

20．若x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥1}\\{-x+y≤1}\\{2x-y≤2}\end{array}\right.$．
（1）求目標(biāo)函數(shù)z=$\frac{1}{2}x$-y+$\frac{1}{2}$的最值；
（2）若目標(biāo)函數(shù)z=ax+2y僅在點（1，0）處取得最小值，求a的取值范圍．
（3）求點P（x，y）到直線y=-x-2的距離的最大值；
（4）z=x²+y²-10y+25的最小值；
（5）z=$\frac{2y+1}{x+1}$的范圍．

Answer 1

分析 （1）作出可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義即可得到結(jié)論；
（2）若目標(biāo)函數(shù)z=ax+2y僅在點（1，0）處取得最小值，判斷目標(biāo)函數(shù)的斜率關(guān)系，即可得到結(jié)論；
（3）由可行域可得C到直線的距離最大，運用點到直線的距離公式可得；
（4）配方可得z表示點（x，y）到點（0，5）的距離的平方，由可行域可得A到（0，5）的距離最��；
（5）z=$\frac{2y+1}{x+1}$=2•$\frac{y-（-\frac{1}{2}）}{x-（-1）}$的幾何意義是點（x，y）與點E（-1，-$\frac{1}{2}$）的斜率的2倍．由可行域可得AE的斜率最小，BE的斜率最大．

解答 解：（1）畫出不等式組表示的可行域，如圖：
求得A（1，0），B（0，1），C（3，4），
作出直線l₀：y=$\frac{1}{2}$x，平移直線l₀，
當(dāng)直線經(jīng)過點C時，z=$\frac{1}{2}x$-y+$\frac{1}{2}$取得最小值，且為-2；
當(dāng)直線經(jīng)過點A時，z=$\frac{1}{2}x$-y+$\frac{1}{2}$取得最大值，且為1．
（2）目標(biāo)函數(shù)z=ax+2y僅在點（1，0）處取得最小值，
若a=0，則目標(biāo)函數(shù)為z=2y，此時y=$\frac{z}{2}$，滿足條件．
若a≠0，則目標(biāo)函數(shù)為y=-$\frac{a}{2}$x+$\frac{z}{2}$，
若a＞0，則斜率k=-$\frac{a}{2}$＜0，
要使目標(biāo)函數(shù)z=ax+2y僅在點（1，0）處取得最小值，
則-$\frac{a}{2}$＞-1，即a＜2，此時0＜a＜2；
若a＜0，則斜率k=-$\frac{a}{2}$＞0，
要使目標(biāo)函數(shù)z=ax+2y僅在點（1，0）處取得最小值，
則-$\frac{a}{2}$＜2，即a＞-4，此時-4＜a＜0，
綜上-4＜a＜2，即a的取值范圍（-4，2）；
（3）作出直線y=-x-2，顯然點C（3，4）到直線的距離最大，
且為d=$\frac{|3+4+2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{11\sqrt{2}}{2}$；
（4）z=x²+y²-10y+25=x²+（y-5）²，
即為點（x，y）到點（0，5）的距離的平方，
由可行域可得，顯然A（1，0）到點（0，5）的距離最小，
且為$\sqrt{26}$，即有z的最小值為26；
（5）z=$\frac{2y+1}{x+1}$=2•$\frac{y-（-\frac{1}{2}）}{x-（-1）}$的幾何意義是點（x，y）與點E（-1，-$\frac{1}{2}$）的斜率的2倍．
由可行域可得顯然AE的斜率最小，BE的斜率最大．
由k_AE=$\frac{0+\frac{1}{2}}{1+1}$=$\frac{1}{4}$，k_BE=$\frac{1+\frac{1}{2}}{0+1}$=$\frac{3}{2}$，
可得z的最小值為$\frac{1}{2}$，最大值為3．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵．注意使用數(shù)形結(jié)合．