Question

16．已知a∈{x|（$\frac{1}{2}$）^x-x=0}，則函數(shù)f（x）=a^{（x2-2x-3）}的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，1]．

Answer 1

分析 容易判斷函數(shù)$g（x）=（\frac{1}{2}）^{x}-x$的零點在（0，1）內(nèi)，從而得出a∈（0，1），從而得到a^t在R上為減函數(shù)，從而根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，只要求二次函數(shù)t=x²-2x-3的單調(diào)遞減區(qū)間，便可得出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：設(shè)g（x）=$（\frac{1}{2}）^{x}-x$，該函數(shù)在R上為減函數(shù)；
又g（0）=1，g（1）=$-\frac{1}{2}$；
∴g（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)存在零點；
又$a∈\{x|（\frac{1}{2}）^{x}-x=0\}$；
∴a∈（0，1）；
f（x）是由a^t，和t=x²-2x-3符合而成，a^t在R上為減函數(shù)；
又函數(shù)x²-2x-3的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，1]；
∴復(fù)合函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：（-∞，1]．
故答案為：（-∞，1]．

點評 考查函數(shù)零點的概念，以及判斷零點所在區(qū)間的方法，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及二次函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法．