Question

20．已知$\left\{\begin{array}{l}x-y+2≥0\\ x+y-4≥0\\ 2x-y-5≤0\end{array}\right.$，求：
（1）z=2x+3y的取值范圍；
（2）z=$\frac{y+1}{x+2}$的取值范圍．

Answer 1

分析 由題意作平面區(qū)域，聯(lián)立方程解出各點(diǎn)的坐標(biāo)；
（1）利用線(xiàn)性規(guī)劃求z=2x+3y的取值范圍；
（2）z=$\frac{y+1}{x+2}$的幾何意義是點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)（-2，-1）的直線(xiàn)的斜率，從而求得．

解答 解：由題意作平面區(qū)域如右圖，
（1）由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y=2x-5}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=7}\\{y=9}\end{array}\right.$，
故點(diǎn)B（7，9）；
同理可得，A（3，1），D（1，3）；
結(jié)合圖象可知，
2×3+3×1≤2x+3y≤2×7+3×9，
即9≤2x+3y≤41，
故z=2x+3y的取值范圍為[9，41]；
（2）z=$\frac{y+1}{x+2}$的幾何意義是點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)（-2，-1）的直線(xiàn)的斜率，
而k_AC=$\frac{1+1}{3+2}$=$\frac{2}{5}$，k_CD=$\frac{3+1}{1+2}$=$\frac{4}{3}$；
故$\frac{2}{5}$≤z≤$\frac{4}{3}$，
即z=$\frac{y+1}{x+2}$的取值范圍為[$\frac{2}{5}$，$\frac{4}{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．