Question

17．已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是長方體，且AB=AA₁=2，AD=4，M是BC中點(diǎn)，N是A₁D₁中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AM⊥平面MDD₁；
（Ⅱ）求證：DN⊥MD₁；
（Ⅲ）求三棱錐A-MBD₁的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明：AM⊥DM，DD₁⊥AM，而DD₁、DM在平面MDD₁內(nèi)，即可證明AM⊥平面MDD₁；
（Ⅱ）證明DN⊥平面MM₁D₁，即可證明：DN⊥MD₁；
（Ⅲ）利用等體積轉(zhuǎn)化，即可求三棱錐A-MBD₁的體積．

解答 （Ⅰ）證明：在矩形ABCD中，M是BC中點(diǎn)，
∴AM=$\sqrt{A{B}^{2}+B{M}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，DM=$\sqrt{C{D}^{2}+C{M}^{2}}$=$\sqrt{A{B}^{2}+B{M}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
故AM²+DM²=16=AD²，即AM⊥DM（2分）
又ABCD-A₁B₁C₁D₁是長方體，∴DD₁⊥平面ABCD
∴DD₁⊥AM（3分）
而DD₁、DM在平面MDD₁內(nèi)
∴AM⊥平面MDD₁（4分）
（Ⅱ）證明：設(shè)M₁是AD中點(diǎn)，連結(jié)MM₁，則MM₁∥AB
∴MM₁⊥平面ADD₁A₁，因此MM₁⊥DN（6分）
連結(jié)NM₁，則NM₁∥DD₁，
又DD₁=AA₁=2，DM=$\frac{1}{2}$AD=2
∴NM₁DD₁是正方形，因此DN⊥D₁M（8分）
∴DN⊥平面MM₁D₁
而MD₁在平面MM₁D₁內(nèi)，∴DN⊥MD₁（10分）
（Ⅲ）解：三棱錐A-MBD₁的體積=三棱錐D₁-AMB的體積=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AB×BM×D{D}_{1}$
=$\frac{1}{6}×2×2×2$=$\frac{4}{3}$．（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查線面垂直的判定定理，考查三棱錐體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．