Question

2．在△ABC中，D，E分別在邊AC，BC上，且$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BC}$=3$\overrightarrow{BE}$，AE，BD交于F點(diǎn)，設(shè)$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow$
（I）用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$表示$\overrightarrow{AE}$；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{AF}$=$λ\overrightarrow{AE}$，求實(shí)數(shù)λ的值．

Answer 1

分析 （I）運(yùn)用向量的基本定理求解表示；
（II）運(yùn)用基本定理得出$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{AF}$$-\overrightarrow{AB}$=$λ\overrightarrow{AE}$$-\overrightarrow{AB}$=（$\frac{2λ}{3}$-1）$\overrightarrow{a}$$+\frac{λ}{3}$$\overrightarrow$，在運(yùn)用共線條件得出即可．

解答 解：（I）$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AB}$$+\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{AB}$$+\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AC}$$-\overrightarrow{AB}$）=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$$+\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$$+\frac{1}{3}\overrightarrow$

（II）∵$\overrightarrow{AF}$=$λ\overrightarrow{AE}$，
∴$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{AF}$$-\overrightarrow{AB}$=$λ\overrightarrow{AE}$$-\overrightarrow{AB}$=（$\frac{2λ}{3}$-1）$\overrightarrow{a}$$+\frac{λ}{3}$$\overrightarrow$
$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$$-\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow$$-\overrightarrow{a}$
∵$\overrightarrow{BF}$$∥\overrightarrow{BD}$
∴m$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{BD}$，
∴$λ=\frac{3}{4}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的基本定理的運(yùn)用，注意幾何圖形的運(yùn)用確定封閉圖形表示向量，屬于中檔題．