Question

10．如圖所示，求一個棱長為$\sqrt{2}$的正四面體的體積，可以看成一個棱長為1的正方體切去四個角后得到，類比這種分法，一個相對棱長都相等的四面體A-BCD，其三組棱長分別為AB=CD=$\sqrt{5}$，AD=BC=$\sqrt{13}$，AC=BD=$\sqrt{10}$，則此四面體的體積為2．

Answer 1

分析 設四面體所在長方體棱長分別為a，b，c，則長方體的對角線長為$\sqrt{5}$，$\sqrt{13}$，$\sqrt{10}$，利用勾股定理列方程求出a，b，c，使用做差法求出四面體體積．

解答 解：設四面體ABCD所在長方體的棱長分別為a，b，c，
則$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+^{2}=5}\\{{a}^{2}+{c}^{2}=13}\\{^{2}+{c}^{2}=10}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=4}\\{^{2}=1}\\{{c}^{2}=9}\end{array}\right.$．
∴∴四面體的體積V=abc-$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}abc$×4=$\frac{1}{3}$abc=$\frac{1}{3}\sqrt{{a}^{2}^{2}{c}^{2}}$=2．
故答案為：2．

點評 本題考查了棱錐的體積計算，屬于中檔題．