Question

14．在極坐標(biāo)系中曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ-cosθ=0，點(diǎn)$M（1\;，\frac{π}{2}）$．以極點(diǎn)O為原點(diǎn)，以極軸為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系．斜率為-1的直線l過點(diǎn)M，且與曲線C交于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的參數(shù)方程；
（Ⅱ）求點(diǎn)M到A，B兩點(diǎn)的距離之積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可得出曲線C的直角坐標(biāo)方程；直線l的傾斜角為$\frac{3π}{4}$，故直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=tcos\frac{3π}{4}}\\{y=1+tsin\frac{3π}{4}}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)0．
（Ⅱ）把直線l的參數(shù)方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)）代入曲線C的方程可得${t^2}+3\sqrt{2}t+2=0$，可得點(diǎn)M到A，B兩點(diǎn)的距離之積|MA|•|MB|=|t₁||t₂|=|t₁•t₂|．

解答 解：（Ⅰ）x=ρcosθ，y=ρsinθ，
由ρsin²θ-cosθ=0得ρ²sin²θ=ρcosθ．
∴y²=x即為曲線C的直角坐標(biāo)方程； 
點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為（0，1），
直線l的傾斜角為$\frac{3π}{4}$，故直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=tcos\frac{3π}{4}}\\{y=1+tsin\frac{3π}{4}}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)）即$\left\{{\begin{array}{l}{x=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)）．

（Ⅱ）把直線l的參數(shù)方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)）代入曲線C的方程得${（1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t）^2}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t$，即${t^2}+3\sqrt{2}t+2=0$，
$△={（3\sqrt{2}）^2}-4×2=10＞0$，
設(shè)A、B對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁、t₂，則$\left\{{\begin{array}{l}{{t_1}+{t_2}=-3\sqrt{2}}\\{{t_1}•{t_2}=2}\end{array}}\right.$，
 又直線l經(jīng)過點(diǎn)M，故由t的幾何意義得
點(diǎn)M到A，B兩點(diǎn)的距離之積|MA|•|MB|=|t₁||t₂|=|t₁•t₂|=2．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線參數(shù)方程的應(yīng)用、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．