Question

已知數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，且a_n＞0，若b_n=log₂a_n，則（　�。�

• A、{b_n}一定是遞增的等差數(shù)列
• B、{b_n}不可能是等比數(shù)列
• C、{2b_2n-1+1}是等差數(shù)列
• D、{3bn}不是等比數(shù)列

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{ a_n }的公比為q（q＞0），由若b_n=log₂a_n，得數(shù)列{b_n}是以log₂a₁為首項(xiàng)，以log₂q為公差的等差數(shù)列，再根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義依次判斷，可得答案．

解答： 解：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{ a_n }的公比為q（q＞0），
則a_n=a₁q^n-1．
∴b_n=log₂ a_n=log₂a₁+（n-1）log₂q．
∴數(shù)列{b_n}是以log₂a₁為首項(xiàng)，以log₂q為公差的等差數(shù)列．
∵當(dāng)0＜q＜1時(shí)，公差log₂q＜0，是遞減數(shù)列，∴A錯(cuò)誤；
∵當(dāng)q=1時(shí)，公差為0，數(shù)列為常數(shù)列，此時(shí)數(shù)列{b_n}也是等比數(shù)列，∴B錯(cuò)誤；
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，則{b_2n-1}是等差數(shù)列，{2b_2n-1+1}是等差數(shù)列，故C正確．
∵數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，
∴

3bn+1

3bn

=3bn+1-bn=3log2q為常數(shù)，∴{3bn}是等比數(shù)列，故D錯(cuò)誤．
故選C．

點(diǎn)評：本題考查了等差、等比數(shù)列的判斷及等差數(shù)列的性質(zhì)，判斷數(shù)列{b_n}是以log₂a₁為首項(xiàng)，以log₂q為公差的等差數(shù)列是解答本題的突破口．