Question

7．已知O是正三角形△ABC內(nèi)部的一點，$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+3$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，則△OAC的面積與△OAB的面積之比是（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 對所給的向量等式進行變形，根據(jù)變化后的條件對兩個三角形的面積進行探究即可，

解答 解：$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+3$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，變?yōu)?\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+2\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$，
設(shè)D，E分別是對應(yīng)邊的中點，
由平行四邊形法則知$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OE}$，2$\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}=4\overrightarrow{OD}$，
故$\overrightarrow{OE}=-2\overrightarrow{OD}$，
由于正三角形ABC，
故S_△AOC=$\frac{2}{3}$S_△ADC=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×S_△ABC=$\frac{1}{3}$S_△ABC，
又D，E是中點，故O到AB的距離是正三角形ABC高的一半，
所以S_△AOB=$\frac{1}{2}$×S_△ABC
∴△OAC的面積與△OAB的面積之比為$\frac{2}{3}$．
故選：B

點評 本題考查向量的加法與減法，及向量共線的幾何意義，本題中把兩個三角形的面積都用三角形ABC的面積表示出來，這是求比值問題時常采用的思路，統(tǒng)一標準，屬于中檔題．