Question

2．為了了解某學(xué)段1000名學(xué)生的百米成績情況，隨機抽取了若干學(xué)生的百米成績，成績?nèi)�部介�?3秒與18秒之間，將成績按如下方式分成五組：第一組[13，14）；第二組[14，15）；…；第五組[17，18]．按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如右圖所示，已知圖中從左到右的前3個組的頻率之比為3：8：19，且第二組的頻數(shù)為8．
（1）將頻率當(dāng)作概率，請估計該學(xué)段學(xué)生中百米成績在[16，17）內(nèi)的人數(shù)以及所有抽取學(xué)生的百米成績的中位數(shù)（精確到0.01秒）；
（2）若從第一、五組中隨機取出兩個成績，求這兩個成績的差的絕對值大于1秒的概率．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)頻率分步直方圖中小正方形的面積是這組數(shù)據(jù)的頻率，用長乘以寬得到面積，即為頻率．根據(jù)所有的頻率之和是1，列出關(guān)于x的方程，解出x的值，繼而求出相應(yīng)小組的人數(shù)，再設(shè)中位數(shù)為m，列出關(guān)于m的方程解得即可；
（2）本題是一個古典概型，試驗發(fā)生所包含的事件是從第一、五組中隨機取出兩個成績，滿足條件的事件是成績的差的絕對值大于1秒，列舉出事件數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式得到結(jié)果

解答 解：（1）設(shè)前3組的頻率依次為3x，8x，19x，則由題意可得：3x+8+19x=1-0.32-0.08=0.6，
由此得：x=0.02，
∴第二組的頻率為0.16，
∵第二組的頻數(shù)為8，
∴抽取的學(xué)生總?cè)藬?shù)為$\frac{8}{0.16}=50$人，
由此可估計學(xué)生中百米成績在[16，17）內(nèi)的人數(shù)=0.32×50=16人，
設(shè)所求中位數(shù)為m，由前可知第一組、第二組、第三組的頻率分別為0.06、016、0.38
則0.06+0.16+0.38（m-15）=0.5，
解得m=15.74
所以估計學(xué)生中百米成績在[16，17）內(nèi)的人數(shù)為16人；所有抽取學(xué)生的百米成績的中位數(shù)為15.74秒． 
（2）記“兩個成績的差的絕對值大于1秒”為事件A．
由（1）可知從第一組抽取的人數(shù)=0.02×3×50=3人，不妨記為a，b．c
從第五組抽取的人數(shù)=0.08×50=4人，不妨記為1，2，3，4，
則從第一、五組中隨機取出兩個成績有：ab，ac．a(chǎn)1，a2，a3，a4，bc，b1，b2，b3，b3，c1，c2，c3，
c4，12，13，14，23，24，34這21種可能；
其中兩個成績的差的絕對值大于1秒的來自不同的組，共有12種．
∴$P（A）=\frac{12}{21}=\frac{4}{7}$
∴兩個成績的差的絕對值大于1秒的概率為$\frac{4}{7}$．

點評 本題考查樣本估計總體，考查古典概型的概率公式，考查頻率分布直方圖等知識，考查數(shù)據(jù)處理能力和分析問題、解決問題的能力．