Question

17．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），其一個(gè)頂點(diǎn)為B（0，4），離心率為$\frac{\sqrt{5}}{5}$，直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l的方程為y=x-4，求弦MN的長(zhǎng)；
（3）如果△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點(diǎn)F，求直線l方程的一般式．

Answer 1

分析 （1）由已知得b=4，結(jié)合離心率及隱含條件求得a，則橢圓方程可求；
（2）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，求出M，N的橫坐標(biāo)，代入弦長(zhǎng)公式得答案；
（3）橢圓右焦點(diǎn)F得坐標(biāo)為（2，0），設(shè)線段MN的中點(diǎn)為Q（x₀，y₀），利用三角形重心的性質(zhì)列式求得Q，再設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式及點(diǎn)差法列式求得直線MN的斜率，代入直線方程點(diǎn)斜式得答案．

解答 解：（1）由已知得，b=4，且$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，即$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{5}$，
∴$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{5}$，得a²=20．
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$；
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-4}\\{\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{16}=1}\end{array}\right.$，得9x²-40x=0，解得x₁=0，${x}_{2}=\frac{40}{9}$．
∴所求弦長(zhǎng)|MN|=$\sqrt{2}|{x}_{2}-{x}_{1}|$=$\frac{40\sqrt{2}}{9}$；
（3）橢圓右焦點(diǎn)F得坐標(biāo)為（2，0），設(shè)線段MN的中點(diǎn)為Q（x₀，y₀），
由三角形重心的性質(zhì)$\overrightarrow{BF}=2\overrightarrow{FQ}$，又B（0，4），
∴（2，-4）=2（x₀-2，y₀），得x₀=3，y₀=-2．
即Q（3，-2），
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=6，y₁+y₂=-4．
且$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{20}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{16}=1$，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{20}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{16}=1$，
以上兩式相減得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{20}+\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{16}=0$．
∴${k}_{MN}=\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{4}{5}×\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$-\frac{4}{5}×\frac{6}{-4}=\frac{6}{5}$．
∴直線MN的方程為y+2=$\frac{6}{5}（x-3）$，
即6x-5y-28=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了“點(diǎn)差法”在求解中點(diǎn)弦問題中的應(yīng)用，是中檔題．