Question

6．橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的一條弦被點（1，1）平分，則此弦所在的直線方程是（　�。�

• A． 4x-9y+5=0
• B． 9x-4y-5=0
• C． 9x+4y-13=0
• D． 4x+9y-13=0

Answer 1

分析 設(shè)直線與橢圓相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）.$\frac{{x}_{1}^{2}}{9}$+$\frac{{y}_{1}^{2}}{4}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{9}$+$\frac{{y}_{2}^{2}}{4}$=1，相減再利用$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=1，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=1，$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=k，即可得出．

解答 解：設(shè)直線與橢圓相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
$\frac{{x}_{1}^{2}}{9}$+$\frac{{y}_{1}^{2}}{4}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{9}$+$\frac{{y}_{2}^{2}}{4}$=1，
相減可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{9}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{4}$=0，
又$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=1，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=1，$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=k，
∴2×4+9×2k=0，解得k=-$\frac{4}{9}$．
∴此弦所在的直線方程是y-1=$-\frac{4}{9}$（x-1），化為：4x+9y-13=0．
故選：D．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、中點坐標(biāo)公式、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．