Question

9．如圖，已知點P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，M、N分別是AB、PC的中點；
（1）求證：MN∥平面PAD．
（2）在PB上確定一點Q，使平面MNQ∥平面PAD．

Answer 1

分析 （1）取PD的中點E，連接AE，NE，證明四邊形AMNE是平行四邊形，得出AE∥MN，故而MN∥平面PAD；
（2）根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得MQ∥PA，于是Q為PB的中點．

解答 證明：（1）取PD的中點E，連接AE，NE，
∵N是PC的中點，E是PD的中點，
∴NE$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，M是AB的中點，
∴AM$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD，
∴AM$\stackrel{∥}{=}$NE，
∴四邊形AMNE是平行四邊形，
∴AE∥MN，又MN?平面PAD，AE?平面PAD，
∴MN∥平面PAD．
（2）假若平面MNQ∥平面PAD，
又平面PAB∩平面PAD=AD，平面MNQ∩平面PAB=MQ，
∴PA∥MQ，
∵M是AB的中點，
∴Q是PB的中點．
∴當Q是PB的中點時，平面MNQ∥平面PAD．

點評 本題考查了線面平行的判定，面面平行的性質(zhì)，屬于中檔題．