Question

3．兩條曲線的極坐標方程分別為C₁：ρ=1與C₂：ρ=2cos（θ+$\frac{π}{3}$），它們相交于A，B兩點．
（Ⅰ）寫出曲線C₁的參數(shù)方程和曲線C₂的普通方程；
（Ⅱ）求線段AB的長．

Answer 1

分析 （I）利用ρ²=x²+y²即可得出C₁：ρ=1的普通方程，利用sin²α+cos²α=1即可得出其參數(shù)方程C₂：ρ=2cos（θ+$\frac{π}{3}$），展開${ρ}^{2}=2×\frac{1}{2}ρcosθ-2×\frac{\sqrt{3}}{2}ρsinθ$，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出．
（II）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，解得A，B，再利用兩點之間的距離公式即可得出．

解答 解：（I）C₁：ρ=1的普通方程為x²+y²=1，其參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）．
C₂：ρ=2cos（θ+$\frac{π}{3}$），化為${ρ}^{2}=2×\frac{1}{2}ρcosθ-2×\frac{\sqrt{3}}{2}ρsinθ$，
∴${x}^{2}+{y}^{2}=x-\sqrt{3}y$，即${x}^{2}+{y}^{2}-x+\sqrt{3}y$=0．
（II）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$．
∴|AB|=$\sqrt{（1+\frac{1}{2}）^{2}+（0+\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、普通方程化為參數(shù)方程、曲線的交點、兩點之間的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．