分析 (1)由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0).由雙曲線$\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$,可得焦點(diǎn)(±2,0).可得a=2,又$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,a2=b2+c2,聯(lián)立解出即可得出.
(2)由(1)可得:F1$(-\sqrt{3},0)$,F(xiàn)2$(\sqrt{3},0)$.設(shè)P(x0,y0),(x0,y0>0),由$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=-$\frac{5}{4}$,可得${x}_{0}^{2}$+${y}_{0}^{2}$-3=$-\frac{5}{4}$,又$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$+${y}_{0}^{2}$=1,聯(lián)立解出即可得出.
(3)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線l的方程為:y=kx+2,與橢圓方程聯(lián)立可得:(1+4k2)x2+16kx+12=0,△>0,解得:k2$>\frac{3}{4}$.由∠AOB為銳角(其中O為原點(diǎn)),可得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$>0,且A,O,B三點(diǎn)不共線.利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系即可得出.
解答 解:(1)由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0).
由雙曲線$\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$,可得焦點(diǎn)(±2,0).
∴a=2,又$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,a2=b2+c2,
聯(lián)立解得:a=2,c=$\sqrt{3}$,b=1.
∴橢圓C的方程為:$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1.
(2)由(1)可得:F1$(-\sqrt{3},0)$,F(xiàn)2$(\sqrt{3},0)$.
設(shè)P(x0,y0),(x0,y0>0),
∵$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=-$\frac{5}{4}$,∴${x}_{0}^{2}$+${y}_{0}^{2}$-3=$-\frac{5}{4}$,
又$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$+${y}_{0}^{2}$=1,聯(lián)立解得:x0=1,y0=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
∴點(diǎn)P$(1,\frac{\sqrt{3}}{2})$.
(3)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線l的方程為:y=kx+2,
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$,化為:(1+4k2)x2+16kx+12=0,
△=256k2-48(1+4k2)>0,解得:k2$>\frac{3}{4}$.
∴x1+x2=-$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$,x1x2=$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$.
∵∠AOB為銳角(其中O為原點(diǎn)),
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$>0,且A,O,B三點(diǎn)不共線.
由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$>0,可得:x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)>0,
可得:(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4>0,
∴(1+k2)×$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$-2k×$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$+4>0,
化為:k2<3,
又k2$>\frac{3}{4}$,∴$-\sqrt{3}<k<-\frac{\sqrt{3}}{2}$,或$\frac{\sqrt{3}}{2}$<k$<\sqrt{3}$.
∵A,O,B三點(diǎn)不共線時(shí),斜率不存在,
∴直線l斜率k的取值范圍是:$(-\sqrt{3},-\frac{\sqrt{3}}{2})$∪$(\frac{\sqrt{3}}{2},\sqrt{3})$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、不等式的解法、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.
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