Question

7．橢圓C的中心在原點O，焦點在x軸上，離心率等于$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且雙曲線$\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$的焦點恰好是橢圓C的兩個頂點
（1）求橢圓C的方程．
（2）若點P是第一象限內該橢圓上的一點，且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=-$\frac{5}{4}$，求點P的坐標；
（3）設過定點M（0，2）的直線l與橢圓交于不同的兩個點A，B，且∠AOB為銳角（其中O為原點），求直線l斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可設橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）．由雙曲線$\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$，可得焦點（±2，0）．可得a=2，又$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可得出．
（2）由（1）可得：F₁$（-\sqrt{3}，0）$，F(xiàn)₂$（\sqrt{3}，0）$．設P（x₀，y₀），（x₀，y₀＞0），由$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=-$\frac{5}{4}$，可得${x}_{0}^{2}$+${y}_{0}^{2}$-3=$-\frac{5}{4}$，又$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$+${y}_{0}^{2}$=1，聯(lián)立解出即可得出．
（3）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l的方程為：y=kx+2，與橢圓方程聯(lián)立可得：（1+4k²）x²+16kx+12=0，△＞0，解得：k²$＞\frac{3}{4}$．由∠AOB為銳角（其中O為原點），可得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$＞0，且A，O，B三點不共線．利用數(shù)量積運算性質、一元二次方程的根與系數(shù)的關系即可得出．

解答 解：（1）由題意可設橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）．
由雙曲線$\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$，可得焦點（±2，0）．
∴a=2，又$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，
聯(lián)立解得：a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1．
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（2）由（1）可得：F₁$（-\sqrt{3}，0）$，F(xiàn)₂$（\sqrt{3}，0）$．
設P（x₀，y₀），（x₀，y₀＞0），
∵$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=-$\frac{5}{4}$，∴${x}_{0}^{2}$+${y}_{0}^{2}$-3=$-\frac{5}{4}$，
又$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$+${y}_{0}^{2}$=1，聯(lián)立解得：x₀=1，y₀=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴點P$（1，\frac{\sqrt{3}}{2}）$．
（3）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l的方程為：y=kx+2，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化為：（1+4k²）x²+16kx+12=0，
△=256k²-48（1+4k²）＞0，解得：k²$＞\frac{3}{4}$．
∴x₁+x₂=-$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$．
∵∠AOB為銳角（其中O為原點），
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$＞0，且A，O，B三點不共線．
由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$＞0，可得：x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）＞0，
可得：（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4＞0，
∴（1+k²）×$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$-2k×$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$+4＞0，
化為：k²＜3，
又k²$＞\frac{3}{4}$，∴$-\sqrt{3}＜k＜-\frac{\sqrt{3}}{2}$，或$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜k$＜\sqrt{3}$．
∵A，O，B三點不共線時，斜率不存在，
∴直線l斜率k的取值范圍是：$（-\sqrt{3}，-\frac{\sqrt{3}}{2}）$∪$（\frac{\sqrt{3}}{2}，\sqrt{3}）$．

點評 本題考查了橢圓的定義標準方程及其性質、數(shù)量積運算性質、一元二次方程的根與系數(shù)的關系、不等式的解法、數(shù)量積運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．