Question

3．已知實(shí)系數(shù)三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²-bx-a（a≠0）．
（1）求證：x=1是函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；
（2）當(dāng)a與b滿足什么關(guān)系時(shí)，函數(shù)f（x）還有其他零點(diǎn)？
（3）如果x₀是函數(shù)f（x）的零點(diǎn)，求證：$\frac{1}{{x}_{0}}$也是函數(shù)f（x）的零點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）將x=1代入，可得f（1）=0，結(jié)合零點(diǎn)定義可得結(jié)論；
（2）f（x）=（x-1）[ax²+（a+b）x+a]，方程ax²+（a+b）x+a=0有不等1的根時(shí)，滿足條件；
（3）方程ax²+（a+b）x+a=0兩根之積為1，進(jìn)而得到答案．

解答 證明：（1）當(dāng)x=1時(shí)，f（1）=a+b-b-a=0，
故x=1是函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；
（2）f（x）=ax³+bx²-bx-a=a（x-1）（x²+x+1）+bx（x-1）=（x-1）[ax²+（a+b）x+a]，
當(dāng)（a+b）²-4a²=（3a+b）（-a+b）≥0，但4a+b≠0時(shí)，
方程ax²+（a+b）x+a=0會(huì)有不等1的根，
函數(shù)f（x）還有其他零點(diǎn)；
（3）如果x₀=1，則x₀是函數(shù)f（x）的零點(diǎn)，此時(shí)$\frac{1}{{x}_{0}}$=1滿足條件；
如果x₀≠1，則x₀是方程ax²+（a+b）x+a=0不等1的根，
由方程ax²+（a+b）x+a=0兩根之積為1，
可得$\frac{1}{{x}_{0}}$也是方程ax²+（a+b）x+a=0不等1的根，
故$\frac{1}{{x}_{0}}$也是函數(shù)f（x）的零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的零點(diǎn)，正確理解函數(shù)零點(diǎn)的定義，是解答的關(guān)鍵．