Question

18．如圖，在△ABC中，AD為內角平分線，∠ADC=60°，點E在AD上，滿足DE=DB，射線CE交AB于點F，求證：AF•AB+CD•CB=AC²．

Answer 1

分析 作∠ADG=∠ADC=60°，交AB于G，由三角形全等推導出∠BFC=∠ADC=60°，從而B、D、E、F四點共圓，在AC上取點H，使得CD•CB=CH•CA，則B、D、H、F四點共圓，從而得到D、C、H、E四點共圓，由此能證明AF•AB+CD•CB=AC²．

解答 證明：如圖，作∠ADG=∠ADC=60°，交AB于G，則∠BDG=60°，
在△ADG和△ADC中，
∠DAG=∠DAC，AD=AD，∠ADG=∠ADC，
∴△ADG≌△ADC，∴DG=DC，
∵DE=DB，∠BDG=∠EDC=60°，
∴△BDG≌△DEC，∴∠BGD=∠DCE，∴∠BFC=∠ADC=60°，
∴∠B=∠DEC=∠FEA，
∴B、D、E、F四點共圓，∴AF•AB=AE•AD，
在AC上取點H，使得CD•CB=CH•CA，
則B、D、H、F四點共圓，
∴∠B=∠CHD，又∠B=∠DEC，∴∠DEC=∠CHD，
∴D、C、H、E四點共圓，
∴AE•AD=AH•AC，
∵CD•CB=CH•CA=CA•（CA-AH）=CA²-CA•AH，
∴AF•AB+CD•CB=AC²．

點評 本題考查AF•AB+CD•CB=AC²的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意三角形全等和四點共圓的性質的合理運用．