【題目】已知函數(shù)，，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．

（1）若曲線在處的切線與曲線也相切．

①求實數(shù)a的值；

②求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)，求證：當(dāng)時，恰好有2個零點．

【答案】（1）①，②函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；（2）證明見解析

【解析】

（1）①利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出在處的切線方程，再利用切線與曲線也相切，可求得的值；②由①知，對絕對值內(nèi)的數(shù)進(jìn)行分類討論，再利用導(dǎo)數(shù)分別研究分段函數(shù)的單調(diào)性.

（2）由，得，令，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，再利用零點存在定理證明函數(shù)的極小值小于0，及，即證得結(jié)論；

（1）①由得，所以切線的斜率．

因為切點坐標(biāo)為，所以切線的方程為．

設(shè)曲線的切點坐標(biāo)為．

由得，

所以，得．

所以切點坐標(biāo)為．

因為點也在直線上．所以．

②由①知．

當(dāng)時，，

因為恒成立，所以在上單調(diào)遞增．

當(dāng)時，．

所以．

因為恒成立，所以在上單調(diào)遞增．

注意到，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，．

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

綜上，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為．

（2）由，得．

令，，當(dāng)時，，

故在上單調(diào)遞增．

又因為，且，

所以在上有唯一解，從而在上有唯一解．

不妨設(shè)為，則．

當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增．

故是的唯一極值點．

令，則當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，

從而當(dāng)時，，即，

所以，

又因為，所以在上有唯一零點．

又因為在上有唯一零點，為1，

所以在上恰好有2個零點．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，為的中點.

(Ⅰ)求證：平面；

(Ⅱ) 求，，求二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知為圓上一點，過點作軸的垂線交軸于點，點滿足

（1）求動點的軌跡方程；

（2）設(shè)為直線上一點，為坐標(biāo)原點，且，求面積的最小值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】學(xué)號為1，2，3的三位小學(xué)生，在課余時間一起玩“擲骰子爬樓梯”游戲，規(guī)則如下：投擲一顆骰子，將每次出現(xiàn)點數(shù)除以3，若學(xué)號與之同余(同除以3余數(shù)相同)，則該小學(xué)生可以上2階樓梯，另外兩位只能上1階樓梯，假定他們都是從平地(0階樓梯)開始向上爬，且樓梯數(shù)足夠多.

（1）經(jīng)過2次投擲骰子后，學(xué)號為1的同學(xué)站在第X階樓梯上，試求X的分布列；

（2）經(jīng)過多次投擲后，學(xué)號為3的小學(xué)生能站在第n階樓梯的概率記為，試求，，的值，并探究數(shù)列可能滿足的一個遞推關(guān)系和通項公式.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率，且經(jīng)過點，是拋物線上一點，過點作拋物線的切線，與橢圓交于，兩點．

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線平分弦，求的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的前n項和為，把滿足條件的所有數(shù)列構(gòu)成的集合記為．

（1）若數(shù)列的通項為，則是否屬于？

（2）若數(shù)列是等差數(shù)列，且，求的取值范圍；

（3）若數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，數(shù)列中是否存在無窮多項依次成等差數(shù)列，若存在，給出一個數(shù)列的通項；若不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，點是曲線上的動點，點在的延長線上，且，點的軌跡為．

（1）求直線及曲線的極坐標(biāo)方程；

（2）若射線與直線交于點，與曲線交于點（與原點不重合），求的最大值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，且的最小值為．

（1）求實數(shù)的值及函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）當(dāng)時，若函數(shù)有且僅有一個零點，求實數(shù)的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

（1）若函數(shù)有且只有一個零點，求實數(shù)的值

（2）若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案