Question

13．已知點(diǎn)P（x，y）滿足$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{y≤1}\\{x-y-1≤0}\end{array}\right.$，目標(biāo)函數(shù)z=x+ay（a＜0）的最大值與最小值之和為0，則a的值為（　�。�

• A． -$\frac{3}{2}$
• B． -2
• C． -1
• D． -$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，確定目標(biāo)取最優(yōu)解的條件，即可求出a的取值范圍．

解答 解：作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，
其中A（1，1），B（1，0），C（2，1），
由z=x+ay得y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$，
∵a＜0，∴目標(biāo)函數(shù)的斜率k=-$\frac{1}{a}$＞0，
①若k=-$\frac{1}{a}$=1，即a=-1時(shí)，當(dāng)直線y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$=x-z經(jīng)過(guò)A時(shí)，截距最小z_min=1+a=1-1=0，
當(dāng)直線y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$=x-z經(jīng)過(guò)B時(shí)，截距最大z_max=1，
此時(shí)z_max+z_min=1+0=1，不滿足條件．
②若k=-$\frac{1}{a}$＞1，即-1＜a＜0時(shí)，當(dāng)直線y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$=x-z經(jīng)過(guò)A時(shí)，截距最小z_min=1+a，
當(dāng)直線y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$=x-z經(jīng)過(guò)C時(shí)，截距最大z_max=2+a，
此時(shí)由z_max+z_min=2+a+1+a=0得a=-$\frac{3}{2}$，不滿足條件-1＜a＜0．此時(shí)不成立．
③若k=-$\frac{1}{a}$∈（0，1），即a＜-1時(shí)，當(dāng)直線y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$=x-z經(jīng)過(guò)A時(shí)，截距最小z_min=1+a，
當(dāng)直線y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$=x-z經(jīng)過(guò)B時(shí)，截距最大z_max=1，
此時(shí)由z_max+z_min=1+1+a=0得a=-2，滿足條件a＜-2．此時(shí)成立．
綜上a=-2．
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃問(wèn)題中的基本方法．注意要對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論．