Question

過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)的一條直線與拋物線相交，交點(diǎn)為A、B．過AB的中點(diǎn)M作x軸的平行線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)C．求證：AC⊥BC．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：向量與圓錐曲線

分析：證AC⊥BC，即證

AC

⊥

BC

，即證

AC

•

BC

=0，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，即可證明．

解答： 解：如圖：

①當(dāng)直線AB的斜率不存在時，F(xiàn)（

p

2

，0），直線AB方程為x=

p

2

，則C（-

p

2

，0），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意得

x= p 2 y2=2px

消去x得y²=p²，∴y₁=-p，y₂=p，A（

P

2

，-P），B（

P

2

，P），∴

AC

=(-p，p)，

BC

=(-p，-p)，
∴

AC

•

BC

=0，∴AC⊥BC．
②當(dāng)當(dāng)直線AB的斜率存在時，F(xiàn)（

p

2

，0），設(shè)直線AB方程為y=k（x-

p

2

），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則C（-

p

2

，

y1+y2

2

），由題意得

y=k(x- p 2 ) y2=2px

消去y得，k2x2-(k2p+2p)x+

k2p2

4

=0，∴x₁+x₂=

k2p+2p

k2

，x₁x₂=

p2

4

，y₁+y₂=k（x₁+x₂）-kp=

2p

k

，y₁y₂=-p²，
∴

AC

=(-

p

2

-x1，

y2-y1

2

)，

BC

=(-

p

2

-x2，

y1-y2

2

)，
∴

AC

•

AB

=（

p

2

+x1）（

p

2

+x2）-

(y1-y2)2

4

=

p2

4

+

p

2

(x1+x2)+x1x2-

(y1+y2)2-4y1y2

4

=0
∴AC⊥BC．
綜上所述；AC⊥BC．

點(diǎn)評：本題主要考查直線與雙曲線的位置關(guān)系及向量垂直的充要條件等知識，考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力及等價轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力，屬于難題．