Question

已知a＞0，給出下列兩個命題：
p：函數(shù)f（x）=ln（x+1）-ln

a

2-x

小于零恒成立；
q：關(guān)于x的方程x²+（1-a）x+1=0，一個根在（0，1）上，另一個根在（1，2）上，若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：復(fù)合命題的真假

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：先根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的最值以及二次函數(shù)的圖象即可求出命題p，q下a的取值范圍，而根據(jù)p∨q為真名題，p∧q為假命題知p真q假，或p假q真，分別求出這兩種情況下的a的取值范圍再求并集即可．

解答： 解：由已知條件知ln（x+1）＜ln

a

2-x

恒成立，即：

a＞0 x+1＞0 a 2-x ＞0 x+1＜ a 2-x

恒成立，即：
a＞-(x-

1

2

)2+

9

4

在x∈（-1，2）上恒成立；
函數(shù)-(x-

1

2

)2+

9

4

在（-1，2）上的最大值為

9

4

；
∴a＞

9

4

；
即p：a＞

9

4

；
設(shè)f（x）=x²+（1-a）x+1，則由命題q：

f(0)=1＞0 f(1)=3-a＜0 f(2)=7-2a＞0

，解得3＜a＜

7

2

；
即q：3＜a＜

7

2

；
若p∨q為真命題，p∧q為假命題，則p，q一真一假；
①若p真q假，則：

a＞ 9 4 0＜a≤3，或a≥ 7 2

，∴

9

4

＜a≤3，或a≥

7

2

；
②若p假q真，則：

0＜a≤ 9 4 3＜a＜ 7 2

，∴a∈∅；
∴實數(shù)a的取值范圍為(

9

4

，3]∪[

7

2

，+∞)．

點評：考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，對數(shù)函數(shù)的定義域，以及配方法求二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)的圖象的運用，以及p∨q，p∧q真假和p，q真假的關(guān)系．