Question

11．若函數(shù)f（x）的圖象從左到右先增后減，則稱函數(shù)f（x）為“∩型”函數(shù)，圖象的最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)稱為“∩點(diǎn)”．
（1）若函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{1}{2m}$（x²-1）為“∩型”函數(shù)，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍，并求出此時的“∩點(diǎn)”．
（2）若g（x）=x-lnx，試證明：$\sum_{k=2}^{n}$$\frac{1}{k-g（k）}$＞$\frac{3{n}^{2}-n-2}{n（n+1）}$（n∈N，n≥2）

Answer 1

分析 （1）通過“∩型”函數(shù)的定義，分m＜0、m＞0兩種情況討論即可；
（2）通過令m=2，即f（x）=$lnx-\frac{1}{4}（{x}^{2}-1）$，及f（x）在[$\sqrt{2}$，+∞）上單減可得f（x）＜0，化簡得$\frac{1}{lnx}＞2（\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}）$，累加即可．

解答 解：（1）$f′（x）=\frac{1}{x}-\frac{x}{m}=-\frac{{x}^{2}-m}{mx}$，
①當(dāng)m＜0時，f′（x）＞0對x∈（0，+∞）恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，此時f（x）不是“∩型”函數(shù)；
②當(dāng)m＞0時，f（x）、f′（x）的變化情況如下表

x	$（0，\sqrt{m}）$	$\sqrt{m}$	$（\sqrt{m}，+∞）$
f′（x）	+	0	-
f（x）	↑		↓

∴函數(shù)f（x）先增后減，即函數(shù)f（x）為“∩型”函數(shù)；
綜上所述，當(dāng)m＞0時，函數(shù)f（x）為“∩型”函數(shù)，“∩點(diǎn)”為$\sqrt{m}$．
（2）∵g（x）=x-lnx，∴k-g（k）=lnk，
∴$\sum_{k=2}^{n}$$\frac{1}{k-g（k）}$＞$\frac{3{n}^{2}-n-2}{n（n+1）}$（n∈N，n≥2）?$\frac{1}{ln2}$+$\frac{1}{ln3}$+…+$\frac{1}{lnn}$＞$\frac{3{n}^{2}-n-2}{n（n+1）}$，
在f（x）中，令m=2，則f（x）=$lnx-\frac{1}{4}（{x}^{2}-1）$，
由（1）知，f（x）在[$\sqrt{2}$，+∞）上為減函數(shù)，
∴當(dāng)x≥2時，f（x）≤f（2）=$ln2-\frac{3}{4}$＜0，故$lnx＜\frac{1}{4}（{x}^{2}-1）$，
因此當(dāng)x≥2時，$\frac{1}{lnx}＞\frac{4}{{x}^{2}-1}=2（\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}）$，
∴$\frac{1}{ln2}$+$\frac{1}{ln3}$+…+$\frac{1}{lnn}$＞$2[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$$+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）]$
=$2（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{3{n}^{2}-n-2}{n（n+1）}$，
即$\sum_{k=2}^{n}$$\frac{1}{k-g（k）}$＞$\frac{3{n}^{2}-n-2}{n（n+1）}$（n∈N，n≥2）．

點(diǎn)評 本題考查新定義函數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性，累加法，對表達(dá)式進(jìn)行靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于難題．