Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

ax²+bln（x+2），其中a，b∈R，
（Ⅰ）當(dāng)a=0時，y=f（x）在x=-1處的切線與直線y=2x+1垂直，求b的值；
（Ⅱ）當(dāng)b=-3a，且a≠0時，討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）若a＞0，對于任意b∈[-1，0]，不等式f（x）≤1在[-

3

2

，0]上恒成立，求a的取值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=0時，y=f（x）=bln（x+2），結(jié)合y=f（x）在x=-1處的切線與直線y=2x+1垂直，可得f′（-1）=-

1

2

，解得b的值；
（Ⅱ）當(dāng)b=-3a，且a≠0時，f′（x）=

a(x+3)(x-1)

x+2

，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號與原函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分a＞0和a＜0兩種情況，可得函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）若a＞0，對于任意b∈[-1，0]，由不等式f（x）≤1在[-

3

2

，0]上恒成立，可得f（-

3

2

）=

9

8

a+bln

1

2

≤1恒成立，即a≤

8

9

（1-bln

1

2

）恒成立，進而求出a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=0時，y=f（x）=bln（x+2），
∴f′（x）=

b

x+2

，
若y=f（x）在x=-1處的切線與直線y=2x+1垂直，
則f′（-1）=b=-

1

2

，
（Ⅱ）當(dāng)b=-3a時，f′（x）=ax+

b

x+2

=ax-

3a

x+2

=

ax2+2ax-3a

x+2

=

a(x+3)(x-1)

x+2

，
當(dāng)a＞0時，
若x∈（-2，1），則f′（x）＜0，
若x∈（1，+∞），則f′（x）＞0，
此時函數(shù)在（-2，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＜0時，
若x∈（-2，1），則f′（x）＞0，
若x∈（1，+∞），則f′（x）＜0，
此時函數(shù)在（-2，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減；
（Ⅲ）若a＞0，b∈[-1，0]，
f′（x）=ax+

b

x+2

=

ax2+2ax-b

x+2

＜0在[-

3

2

，0]上恒成立，
則函數(shù)f（x）在[-

3

2

，0]上為減函數(shù)，
若f（x）≤1在[-

3

2

，0]上恒成立，
則f（-

3

2

）=

9

8

a+bln

1

2

≤1恒成立，
即a≤

8

9

（1-bln

1

2

）恒成立
即a≤

8

9

（1+ln

1

2

），
故a的取值范圍為（0，

8

9

（1+ln

1

2

）]

點評：本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，是導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難度中檔．