Question

6．已知等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=$\frac{1}{2}$，a_n＞0（n∈N^•），S₃+a₃，S₅+a₅，S₄+a₄成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=3a_n+2n-7，T_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求T_n及T_n的最小值．

Answer 1

分析 （1）由S₃+a₃，S₅+a₅，S₄+a₄成等差數(shù)列，可得：S₅+a₅-（S₃+a₃）=S₄+a₄-（S₅+a₅），化為：4a₅=a₃，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）b_n=3a_n+2n-7=$3×（\frac{1}{2}）^{n}$+2n-7，利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S₃+a₃，S₅+a₅，S₄+a₄成等差數(shù)列．
∴S₅+a₅-（S₃+a₃）=S₄+a₄-（S₅+a₅），
∴2a₅+a₄-a₃=-2a₅+a₄，
∴4a₅=a₃，
設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，則q²=$\frac{{a}_{5}}{{a}_{3}}$=$\frac{1}{4}$．
∵a_n＞0，
∴q＞0，從而q=$\frac{1}{2}$．
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=$（\frac{1}{2}）^{n}$．
（2）b_n=3a_n+2n-7=$3×（\frac{1}{2}）^{n}$+2n-7，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=$3×\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$+$\frac{n（-5+2n-7）}{2}$
=n²-6n+3-$\frac{3}{{2}^{n}}$．
當(dāng)n≥3時，∵（n-3）²-6和$-\frac{3}{{2}^{n}}$都是關(guān)于n的增函數(shù)，
∴當(dāng)n≥3時，T_n是關(guān)于n的增函數(shù)，即T₃＜T₄＜T₅＜…．
∵T₁=-$\frac{7}{2}$=-$\frac{28}{8}$，T₂=-$\frac{23}{4}$=-$\frac{46}{8}$，T₃=-$\frac{51}{8}$，
∴T₁＞T₂＞T₃．
于是（T_n）_min=T₃=-$\frac{51}{8}$．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．