Question

14．△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，已知3（sin²B+sin²C）=3sin²A+2sinBsinC．
（1）若sinB=$\sqrt{2}$cosC，求tanC的值；
（2）若a=2，△ABC的面積S=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且b＞c，求b，c的值．

Answer 1

分析 已知等式利用正弦定理化簡，再利用余弦定理求出cosA的值，進而求出sinA的值，
（1）已知等式左邊sinB換為sin（A+C），利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，求出tanC的值即可；
（2）由cosA的值，利用余弦定理列出關(guān)于b與c的方程，再利用三角形面積公式列出關(guān)于b與c的方程，聯(lián)立求出b與c的值即可．

解答 解：△ABC中，∵3（sin²B+sin²C）=3sin²A+2sinBsinC，
∴3（b²+c²）=3a²+2bc，即cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{3}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
（1）由sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$cosC+$\frac{1}{3}$sinC=$\sqrt{2}$cosC，整理得：sinC=$\sqrt{2}$cosC，
則tanC=$\sqrt{2}$；
（2）∵cosA=$\frac{1}{3}$，∴由余弦定理得：4=b²+c²-$\frac{2}{3}$bc①，
由三角形面積公式及已知面積S=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得到$\frac{1}{2}$bc•$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$②，
聯(lián)立①②，且b＞c，解得：b=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，c=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 此題考查了正弦、余弦定理，三角形面積公式，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．