Question

13．已知函數(shù)$f（x）=sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}+{cos^2}\frac{x}{2}-1$．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）的最值及此時x的值．

Answer 1

分析 （1）先利用二倍角將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）+B的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，最后將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的減區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）最大和最小值，并解出對應(yīng)的x值．

解答 解：由$f（x）=sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}+{cos^2}\frac{x}{2}-1$．
?f（x）=$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{2}$cosx-1
?f（x）=$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx-$\frac{1}{2}$
?f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}sin（x+\frac{π}{4}）-\frac{1}{2}$，
（1）∴f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{1}=2π$．
∵y=sinx函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為$[2kπ+\frac{π}{2}，2kπ+\frac{3π}{2}]$，（k∈Z）
∴$x+\frac{π}{4}∈$$[2kπ+\frac{π}{2}，2kπ+\frac{3π}{2}]$，（k∈Z）
解得：$2kπ+\frac{π}{4}≤x≤2kπ+\frac{5π}{4}$，（k∈Z）
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為$[2kπ+\frac{π}{4}，2kπ+\frac{5π}{4}]$，（k∈Z）
（2）由三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)：
可知：當(dāng)∴$x+\frac{π}{4}=\frac{π}{2}+2kπ$時，f（x）取得最大值，即：$f（x）_{max}=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}-1}{2}$；
此時解得$x=2kπ+\frac{π}{4}$，（k∈Z）
當(dāng)$x+\frac{π}{4}=-\frac{π}{2}+2kπ$時，f（x）取得最小值，即：$f（x）_{min}=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{2}+1}{2}$；
此時解得$x=2kπ-\frac{3π}{4}$，（k∈Z）

點(diǎn)評 本題考查了利用二倍角化簡三角函數(shù)的能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用能力．屬于基礎(chǔ)題．