Question

15．已知圓：x²+y²=64，圓C與圓O相交，圓心為C（9，0），且圓C上的點(diǎn)與圓O上的點(diǎn)之間的最大距離為21．
（Ⅰ）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）在x軸上是否存在定點(diǎn)P，使得過點(diǎn)P的直線l被圓O與圓C截得的弦長d₁、d₂的比值總等于同一常數(shù)λ？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及λ的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）圓O₁的半徑為4，圓心為O₁（9，0），從而可得圓O₁的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)方程為y=k（x-a），求出O，C到直線l的距離，從而可得d₁、d₂的值，利用d₁、d₂的比值總等于同一常數(shù)λ，建立方程，從而利用等式對任意實(shí)數(shù)k恒成立，得到三個方程，由此可得結(jié)論．

解答 解：（1）∵圓O：x²+y²=64，圓O₁與圓O相交，圓O₁上的點(diǎn)與圓O上的點(diǎn)之間的最大距離為21，
∴圓O₁的半徑為4，
∵圓心為O₁（9，0），
∴圓O₁的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-9）²+y²=16；
（2）當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)方程為y-b=k（x-a），即kx-y-ka-b=0
∴O，C到直線l的距離分別為h=$\frac{|ka-b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，h₁=$\frac{|-9k+ka-b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴d₁=2$\sqrt{64-\frac{（ka-b）^{2}}{1+{k}^{2}}}$，d₂=2$\sqrt{16-\frac{（-9k+ka-b）^{2}}{1+{k}^{2}}}$
∵d₁與d₂的比值總等于同一常數(shù)λ，
∴64-$\frac{（ka-b）^{2}}{1+{k}^{2}}$=λ²[16-$\frac{（-9k+ka-b）^{2}}{1+{k}^{2}}$]
∴[64-a²-16λ²+λ²（a-9）²]k²+2b[a-λ²（a-9）]k+64-b²-λ²（16-b²）=0
由題意，上式對任意實(shí)數(shù)k恒成立，所以64-a²-16λ²+λ²（a-9）²=0，2b[a-λ²（a-9）]=0，64-b²-λ²（16-b²）=0同時成立，
①如果b=0，則64-16λ²=0，∴λ=2（舍去負(fù)值），從而a=6或18；
∴λ=2，P（6，0），P（18，0）
②如果a-λ²（a-9）=0，顯然a=9不滿足，從而λ²=$\frac{a}{a-9}$，3a²-43a+192=0，△=43²-4×3×192=-455＜0，故方程無解，舍去；
當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，0）時，直線l的斜率不存在，此時d₁=2$\sqrt{7}$，d₁=$\sqrt{7}$也滿足
綜上，滿足題意的λ=2，點(diǎn)P有兩個，坐標(biāo)分別為（6，0），（18，0），
斜率不存在時 P（18，0），直線與圓外離，舍去．

點(diǎn)評 本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查恒成立問題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力．