Question

3．已知函數(shù)f（x）=alnx-ax-2（a∈R）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線的傾斜角為135°，且函數(shù)g（x）=f（x）-mx²-2x+4存在單調(diào)遞減區(qū)間，求m的取值范圍；
（3）試比較$\frac{ln{2}^{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{ln{3}^{2}}{{3}^{2}}$+$\frac{ln{4}^{2}}{{4}^{2}}$+…+$\frac{ln{n}^{2}}{{n}^{2}}$與$\frac{（n-1）（2n+1）}{2（n+1）}$的大小（n∈N*，n≥2），并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)，需要分類(lèi)討論，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）點(diǎn)（2，f（2））處的切線的傾斜角為135°，即切線斜率為-1，即f'（2）=-1，可求a值，代入得g（x）的解析式，由g（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，g'（x）＜0在（0，+∞）上有解，分離參數(shù)，從而可求m的范圍；
（3）利用函數(shù)的單調(diào)性，$\frac{lnx}{x}＜1-\frac{1}{x}$，∵n∈N⁺，n≥2令x=n²，代入計(jì)算，并利用放縮法證明即可．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{a（1-x）}{x}（x＞0）$．
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1），單調(diào)減區(qū)間為（1，+∞），
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，1）．
當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-2為常函數(shù)，不具有單調(diào)性．         
（2）∵$f'（x）=\frac{a（1-x）}{x}$，
∴$f'（2）=-\frac{a}{2}=-1$，
∴a=2．
∴g（x）=2lnx-4x-mx²+2，
∴$g'（x）=\frac{{-2m{x^2}-4x+2}}{x}$，
若g（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，則g'（x）＜0在（0，+∞）上有解，
∴mx²+2x-1＞0在（0，+∞）上有解，
∴$m＞\frac{1-2x}{x^2}$在（0，+∞）上有解，
即?x∈（0，+∞）使得$m＞{（\frac{1}{x}）^2}-\frac{2}{x}$成立，
令$t=\frac{1}{x}，（t＞0）$，
則y=t²-2t，在t=1時(shí)，y_min=-1，
∴m的取值范圍為（-1，+∞）；
（3）結(jié)論：$\frac{{ln{2^2}}}{2^2}+\frac{{ln{3^2}}}{3^2}+\frac{{ln{4^2}}}{4^2}+…+\frac{{ln{n^2}}}{n^2}＜\frac{（n-1）（2n+1）}{2（n+1）}$
證明如下：由（Ⅰ）可知，當(dāng)a=1時(shí)f（x）=lnx-x-2在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）＜f（1），
∴l(xiāng)nx＜x-1，
∴$\frac{lnx}{x}＜1-\frac{1}{x}$，
又∵n∈N⁺，n≥2令x=n²，
則$\frac{{ln{2^2}}}{2^2}＜1-\frac{1}{2^2}，\frac{{ln{3^2}}}{3^2}＜1-\frac{1}{3^2}，…\frac{{ln{n^2}}}{n^2}＜1-\frac{1}{{′{n^2}}}$，
∴$\frac{{ln{2^2}}}{2^2}+\frac{{ln{3^2}}}{3^2}+\frac{{ln{4^2}}}{4^2}+…+\frac{{ln{n^2}}}{n^2}＜n-1-（\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+…+\frac{1}{n^2}）$$＜n-1-（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{（n-1）（2n+1）}{2（n+1）}$，
∴$\frac{{ln{2^2}}}{2^2}+\frac{{ln{3^2}}}{3^2}+\frac{{ln{4^2}}}{4^2}+…+\frac{{ln{n^2}}}{n^2}＜\frac{（n-1）（2n+1）}{2（n+1）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)幾何意義，不等式的證明，求參數(shù)的范圍，是一道綜合題，屬于難題．