Question

15．若0＜α＜π，且sinα+cosα=$\frac{2}{3}$，則cosα-sinα的值是（　�。�

• A． $\frac{14}{9}$
• B． $\frac{{\sqrt{14}}}{3}$
• C． $±\frac{{\sqrt{14}}}{3}$
• D． $-\frac{{\sqrt{14}}}{3}$

Answer 1

分析 把已知等式兩邊平方，利用完全平方公式及同角三角函數(shù)間基本關(guān)系化簡，整理求出2sinαcosα的值，再利用完全平方公式及同角三角函數(shù)間基本關(guān)系化簡即可求出cosα-sinα的值．

解答 解：把sinα+cosα=$\frac{2}{3}$，
兩邊平方得：（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=$\frac{4}{9}$，
即2sinαcosα=-$\frac{5}{9}$，
∵0＜α＜π，
∴sinα＞0，cosα＜0，即cosα-sinα＜0，
∴（cosα-sinα）²=1-2sinαcosα=$\frac{14}{9}$，
則cosα-sinα=-$\frac{\sqrt{14}}{3}$，
故選：D．

點評 此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．