Question

7．（1）利用“五點法”畫出函數$f（x）=sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}）$在$[{-\frac{π}{3}，\frac{11π}{3}}]$內的簡圖

x
$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$
y

（2）若對任意x∈[0，2π]，都有f（x）-3＜m＜f（x）+3恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據列表、描點、連線的基本步驟，畫出函數在一個周期在$[{-\frac{π}{3}，\frac{11π}{3}}]$的大致圖象即可．
（2）根據x∈[0，2π]，求解f（x）的值域，要使f（x）-3＜m＜f（x）+3恒成立，轉化為最小和最大值問題．

解答 解：（1）根據題意，函數$f（x）=sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}）$在$[{-\frac{π}{3}，\frac{11π}{3}}]$內的列表如下：

x	$-\frac{π}{3}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{5π}{3}$	$\frac{8π}{3}$	$\frac{11π}{3}$
$\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
y	0	1	0	-1	0

在平面直角坐標系內可得圖象如下：

（2）通過圖象可知：當x∈[0，2π]時，函f（x）值域為$[{-\frac{1}{2}，1}]$，
要使f（x）-3＜m＜f（x）+3恒成立，
即：$\left\{\begin{array}{l}{1-3＜m}\\{-\frac{1}{2}+3＞m}\end{array}\right.$
解得：$-2＜m＜\frac{5}{2}$，
∴m的取值范圍是$m∈[{-2，\frac{5}{2}}]$．

點評 本題考查了三角函數的圖象與性質的應用問題，解題時應根據畫三角函數的圖象的基本步驟畫出圖形，是基礎題．