Question

18．已知橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，短軸長(zhǎng)為8，F(xiàn)₁、F₂為橢圓的左、右焦點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率；
（3）求以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)、頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 （1）由題意求得橢圓的長(zhǎng)半軸和短半軸長(zhǎng)，再由橢圓的焦點(diǎn)在y軸上可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）由隱含條件求得c，則橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率可求；
（3）由題意求出雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和焦點(diǎn)為坐標(biāo)，進(jìn)而得到雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可求．

解答 解：（1）由已知2a=10，2b=8，解得a=5，b=4，
∵橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，
∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{25}=1$；
（2）由c²=a²-b²=9，得c=3．
因此橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（0，-3），F(xiàn)₂（0，3），
離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{3}{5}$；
（3）由已知，所求雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3），（0，3），
焦點(diǎn)為坐標(biāo)為（0，-5），（0，5），
∴雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)a=3，半焦距c=5，則虛半軸長(zhǎng)為b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}=4$．
又雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{16}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了橢圓及雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，是基礎(chǔ)題．