Question

15．已知θ是銳角，當$\frac{1}{si{n}^{2}θ}$+$\frac{4}{co{s}^{2}θ}$取得最小值時，sinθ=（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• D． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 原式變形后，利用多項式乘以多項式法則計算，利用基本不等式求出取得最小值時sinθ的值即可．

解答 解：$\frac{1}{si{n}^{2}θ}$+$\frac{4}{co{s}^{2}θ}$=（$\frac{1}{si{n}^{2}θ}$+$\frac{4}{co{s}^{2}θ}$）（sin²θ+cos²θ）=5+$\frac{co{s}^{2}θ}{si{n}^{2}θ}$+$\frac{4si{n}^{2}θ}{co{s}^{2}θ}$≥5+2$\sqrt{4}$=9，
當且僅當$\frac{co{s}^{2}θ}{si{n}^{2}θ}$=4×$\frac{si{n}^{2}θ}{co{s}^{2}θ}$，即cos⁴θ=4sin⁴θ時，取等號，
∵θ為銳角，∴sinθ＞0，cosθ＞0，
此時sin²θ=$\frac{1}{3}$，即sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選：A．

點評 此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用，以及基本不等式的應(yīng)用，熟練掌握基本不等式是解本題的關(guān)鍵．