Question

7．過(guò)拋物線：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F作傾斜角為60°的直線l，若直線l與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為A，并且點(diǎn)A也在雙曲線：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線上，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{21}}{3}$
• B． $\sqrt{13}$
• C． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，把A的坐標(biāo)用p表示，代入雙曲線的漸近線方程得到a，b的關(guān)系，結(jié)合a²+b²=c²求得雙曲線的離心率．

解答 解：如圖，

設(shè)A（x₀，y₀），則|AF|=2（${x}_{0}-\frac{p}{2}$），
又|AF|=${x}_{0}+\frac{p}{2}$，∴$2（{x}_{0}-\frac{p}{2}）={x}_{0}+\frac{p}{2}$，解得${x}_{0}=\frac{3}{2}p$，
${y}_{0}=\frac{\sqrt{3}}{2}|AF|=\frac{\sqrt{3}}{2}2P=\sqrt{3}P$，
∵A（$\frac{3}{2}p，\sqrt{3}p$）在雙曲線：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線上，
∴$\sqrt{3}p=\frac{a}•\frac{3}{2}p$，解得：$^{2}=\frac{4}{3}{a}^{2}$，
由a²+b²=c²，得${a}^{2}+\frac{4}{3}{a}^{2}={c}^{2}$，即$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{7}{3}$，∴$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{21}}{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與雙曲線的幾何性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．