Question

設向量

a

=（λ+2，λ²-

3

cos2α），

b

=（m，

m

2

+sinαcosα），其中λ，m，α為實數，

a

=2

b

，則λm的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：向量數乘的運算及其幾何意義

專題：函數的性質及應用,三角函數的圖像與性質,平面向量及應用

分析：根據

a

=2

b

，結合三角函數的恒等變換，求出m的取值范圍，再求λm的取值范圍即可．

解答： 解：∵向量

a

=（λ+2，λ²-

3

cos2α），

b

=（m，

m

2

+sinαcosα），且

a

=2

b

，
∴

λ+2=2m…① λ2- 3 cos2α=2( m 2 +sinαcosα)…②

，
把①代入②得，（2m-2）²-

3

cos2α=m+sin2α，
∴4m²-9m+4=sin2α+

3

cos2α=2sin（2α+

π

3

），
∴-2≤4m²-9m+4≤2；
解得

1

4

≤m≤2；
∴λm=（2m-2）m=2m²-2m=2(m-

1

2

)2-

1

2

，
當m=

1

2

時，有最小值（λm）_min=-

1

2

，
當m=2時，有最大值（λm）_max=4，
∴λm的取值范圍是[-

1

2

，4]．
故答案為：[-

1

2

，4]．

點評：本題考查了平面向量的應用問題，也考查了三角恒等變換的應用問題，還考查了求函數的最值問題，是綜合題．