Question

1．已知拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，直線x=4與x軸的交點(diǎn)為M，與C的交點(diǎn)為N，且|NF|=$\frac{5}{4}$|MN|．
（1）求C的方程；
（2）設(shè)A（-2，1），B（2，1），動(dòng)點(diǎn)Q（m，n）（-2＜m＜2）在曲線C上，曲線C在點(diǎn)Q處的切線方程為l．問(wèn)：是否存在定點(diǎn)P（0，t），使得l與PA，PB都相交，交點(diǎn)分別為D，E，且△QAB與△PDE的面積之比是常數(shù)？若存在，求出t的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)N（4，y₀），代入x²=2py，結(jié)合|NF|=$\frac{5}{4}$|MN|，求出p，即可求解C的方程．
（2）假設(shè)存在點(diǎn)P（0，t）（t＜0），滿(mǎn)足條件，則直線PA的方程是y=$\frac{t-1}{2}$x+t，直線PB的方程是y=$\frac{1-t}{2}$x+t分類(lèi)討論：①當(dāng)-1＜t＜0時(shí)，l∥PA，不符合題意；②當(dāng)t≤-1時(shí)，$\frac{t-1}{2}$≤-1＜$\frac{m}{2}$，$\frac{1-t}{2}$≥1＞$\frac{m}{2}$，分別聯(lián)立方程組，解得D，E的橫坐標(biāo)，進(jìn)而可得△QAB與△PDE的面積之比，利用其為常數(shù)，即可求得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)N（4，y₀），代入x²=2py，得y₀=$\frac{8}{p}$，
∴|MN|=$\frac{8}{p}$，|NF|=$\frac{p}{2}$+$\frac{8}{p}$．
由題設(shè)|NF|=$\frac{5}{4}$|MN|，
得$\frac{p}{2}$+$\frac{8}{p}$=$\frac{5}{4}$×$\frac{8}{p}$，解得p=-2（舍去）或p=2，
∴C的方程為x²=4y；
（2）假設(shè)存在點(diǎn)P（0，t）（t＜0），滿(mǎn)足條件，則直線PA的方程是y=$\frac{t-1}{2}$x+t，直線PB的方程是y=$\frac{1-t}{2}$x+t．
∵-2＜m＜2，∴-1＜$\frac{m}{2}$＜1
①當(dāng)-1＜t＜0時(shí)，-1＜$\frac{t-1}{2}$＜-$\frac{1}{2}$，存在m∈（-2，2），使得$\frac{m}{2}$=$\frac{t-1}{2}$．
∴l(xiāng)∥PA，∴當(dāng)-1＜t＜0時(shí)，不符合題意；
②當(dāng)t≤-1時(shí)，$\frac{t-1}{2}$≤-1＜$\frac{m}{2}$，$\frac{1-t}{2}$≥1＞$\frac{m}{2}$，
∴l(xiāng)與直線PA，PB一定相交，分別聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{t-1}{2}x+t}\\{y=\frac{m}{2}x-\frac{{m}^{2}}{4}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1-t}{2}x+t}\\{y=\frac{m}{2}x-\frac{{m}^{2}}{4}}\end{array}\right.$，
解得D，E的橫坐標(biāo)分別是x_D=$\frac{{m}^{2}+4t}{2（m+1-t）}$，x_E=$\frac{{m}^{2}+4t}{2（m+t-1）}$．
∴x_E-x_D=$（1-t）•\frac{{m}^{2}+4t}{{m}^{2}-（t-1）^{2}}$
∵|FP|=-$\frac{{m}^{2}}{4}$-t
∴S_△PDE=$\frac{1}{2}|FP|×$|x_E-x_D|=$\frac{t-1}{8}×$$\frac{（{m}^{2}+4t）^{2}}{{m}^{2}-（t-1）^{2}}$
∵S_△QAB=$\frac{4-{m}^{2}}{2}$
∴$\frac{{S}_{△QAB}}{{S}_{△PDE}}$=$\frac{4}{1-t}×\frac{{m}^{4}-[4+（t-1）^{2}]{m}^{2}+4（t-1）^{2}}{{m}^{4}+8t{m}^{2}+16{t}^{2}}$
∵x₀∈（-2，2），△QAB與△PDE的面積之比是常數(shù)
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4-（t-1）^{2}=8t}\\{4（t-1）^{2}=16{t}^{2}}\end{array}\right.$，解得t=-1，
∴△QAB與△PDE的面積之比是2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線方程的求法，直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，考查三角形面積的計(jì)算，同時(shí)考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．