Question

12．已知|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1，它們的夾角為θ，且$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$-\frac{1}{2}$．
（1）求θ的值；
（2）求|3$\overrightarrow{a}$+5$\overrightarrow$|；
（3）若（3$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$）⊥（k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$），求k的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的數(shù)量級的定義計(jì)算cosθ；
（2）計(jì)算（3$\overrightarrow{a}+5\overrightarrow$）²，然后開方即可得到|3$\overrightarrow{a}-5\overrightarrow$|；
（3）令（3$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$）•（k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=0列方程解出k．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|cosθ=cos$θ=-\frac{1}{2}$，
∴$θ=\frac{2π}{3}$．
（2）（3$\overrightarrow{a}+5\overrightarrow$）²=9${\overrightarrow{a}}^{2}+30\overrightarrow{a}•\overrightarrow+25{\overrightarrow}^{2}$=9-15+25=19，
∴|3$\overrightarrow{a}$+5$\overrightarrow$|=$\sqrt{19}$．
（3）∵（3$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$）⊥（k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$），∴（3$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$）•（k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=0，
即3k${\overrightarrow{a}}^{2}$+（k²-3）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-k${\overrightarrow}^{2}$=0，
∴3k-$\frac{1}{2}$（k²-3）-k=0，
解得k=2+$\sqrt{7}$或k=2-$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的數(shù)量級運(yùn)算，向量垂直與數(shù)量級的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．