Question

7．已知橢圓C的中心在坐標原點O，左焦點為F（-l，0），離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過點F的直線，與橢圓C交于A、B兩點，設$\overrightarrow{AF}=λ\overrightarrow{FB}$（其中1＜入＜3），求$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由c=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，b²=a²-c²，求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）由題意可知設直線方程，將直線方程代入橢圓方程，由韋達定理可知求得y₁+y₂，y₁•y₂，由$\overrightarrow{AF}=λ\overrightarrow{FB}$（其中1＜λ＜3），可知：y₁=-λy₂，構造輔助函數(shù)t=λ+$\frac{1}{λ}$-2，t∈（0，3），代入求得m²=$\frac{2t}{4-t}$，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示求得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=$\frac{1-2{m}^{2}}{2+{m}^{2}}$，m²=$\frac{2t}{4-t}$，根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性即可求得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的取值范圍．

解答 解：（1）由題意可知：設橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
c=1，橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴a=$\sqrt{2}$，
由b²=a²-c²=1，
∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）$\overrightarrow{AF}=λ\overrightarrow{FB}$（其中1＜λ＜3），可知直線斜率不為0，
設直線l：x=my-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴y₁=-λy₂，
$\left\{\begin{array}{l}{x=my-1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（2+m²）y²-2my-1=0，
由韋達定理可知：y₁+y₂=$\frac{2m}{2+{m}^{2}}$，y₁•y₂=$\frac{-1}{2+{m}^{2}}$，
∴$\frac{4{m}^{2}}{2+{m}^{2}}$=$\frac{（1-λ）^{2}}{λ}$=λ+$\frac{1}{λ}$-2，
令t=λ+$\frac{1}{λ}$-2，t∈（0，$\frac{4}{3}$），
可得：m²=$\frac{2t}{4-t}$，
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁•y₂=（my₁-1）（my₂-1）+y₁•y₂，
=（1+m²）y₁•y₂-m（y₁+y₂）+1，
=$\frac{1-2{m}^{2}}{2+{m}^{2}}$，
將m²=$\frac{2t}{4-t}$代入整理得：$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=$\frac{4-5t}{8}$，t∈（0，$\frac{4}{3}$），
由f（t）=$\frac{4-5t}{8}$，在（0，$\frac{4}{3}$）單調(diào)遞減，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$∈（-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$）．

點評 本題考查橢圓的方程及簡單幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關系，韋達定理向量數(shù)量積的坐標運算，函數(shù)的最值，考查構造法，考查計算能力，屬于中檔題．