Question

12．定義在（0，∞）上的函數(shù)f（x），對于任意的x，y∈（0，+∞）．都有f（xy）=f（x）+f（y）成立，當(dāng)x＞1時，f（x）＞0．
（1）計算f（1）；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（0，∞）上的單調(diào)性；
（3）若f（2）=1，解不等式3-f（x+2）＞f（x）．

Answer 1

分析 （1）令x=y=1，代入f（x•y）=f（x）+f（y）即可得到f（1）的方程，解之即可求得f（1）．
（2）設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，利用定義法作差，整理后即可證得差的符號，進(jìn)而由定義得出函數(shù)的單調(diào)性．
（3）由已知可得，f（8）=f（2）+f（4）=3f（2）=3，原不等式可轉(zhuǎn)化為f[x（x+2）]＞f（8），結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得關(guān)于x的不等式，可求．

解答 解；（1）∵對任意x，y∈（0，+∞），都有f（x•y）=f（x）+f（y）．
令x=y=1可得f（1）=2f（1）．
∴f（1）=0．
（2）函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)增函數(shù)；
證明如下：設(shè)x₁＞x₂＞0，則 $\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞1
∵當(dāng)x＞1時f（x）＜0．
∴f（x₁）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$•x2）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）+f（x₂）＞f（x₂）．
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
（3）∵f（2）=1，f（1）=0，f（x•y）=f（x）+f（y），
∴f（8）=f（2）+f（4）=3f（2）=3
∵3-f（x+2）＞f（x）．
∴f[x（x+2）]＞f（8）．
∵函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
∴$\left\{\begin{array}{l}x＞0\\ x+2＞0\\ x（x+2）＞8\end{array}\right.$，
∴0＜x＜4．

點(diǎn)評 本題考點(diǎn)是抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查靈活賦值求值的能力以及靈活變形證明函數(shù)單調(diào)性的能力．