【題目】已知函數(shù)).

(1)若,求函數(shù)的極值.

(2)若有唯一的零點(diǎn),求的取值范圍.

(3)若,設(shè),求證: 內(nèi)有唯一的零點(diǎn),且對(duì)(2)中的,滿足.

【答案】(1)有極小值,無極大值 (2) (3)證明見解析

【解析】試題分析:

(1)首先求得導(dǎo)函數(shù),然后利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)確定原函數(shù)的單調(diào)性可得有極小值,無極大值.

(2)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后令設(shè).結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論可得的取值范圍是

(3) 設(shè),則換元可得,利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間即可證得題中的結(jié)論.

試題解析:

1)當(dāng)時(shí), , ,

,令

當(dāng)變化時(shí), , 的變化如下表:

0

極小值

故函數(shù)單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,

有極小值,無極大值.

2)解法一:

,得,設(shè)

有唯一的零點(diǎn)等價(jià)于有唯一的零點(diǎn)

當(dāng)時(shí),方程的解為,滿足題意;

當(dāng)時(shí),由函數(shù)圖象的對(duì)稱軸,函數(shù)上單調(diào)遞增,

, ,所以滿足題意;

當(dāng), 時(shí), ,此時(shí)方程的解為,不符合題意;

當(dāng), 時(shí),由,

只需,得

綜上,

(說明: 未討論扣1

解法二:

,由,得

設(shè),則,

問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象在恰有一個(gè)交點(diǎn)問題.

又當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞增,

故直線與函數(shù)的圖象恰有一個(gè)交點(diǎn),當(dāng)且僅當(dāng)

3)設(shè),則,

,

,

,故由(2)可知,

方程內(nèi)有唯一的解

且當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞減;

時(shí), , 單調(diào)遞增.

,所以

,

,

從而當(dāng)時(shí), 必存在唯一的零點(diǎn),且

,得,且,

從而函數(shù)內(nèi)有唯一的零點(diǎn),滿足

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【題目】已知函數(shù)).

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(2)若在區(qū)間上存在極值點(diǎn),判斷該極值點(diǎn)是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn),并求的取值范圍;

(3)若當(dāng)時(shí), 恒成立,求的取值范圍.

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A. B.

C. D.

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1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的表達(dá)式;

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