Question

2．巳知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，都有不等式f（x）+xf'（x）＞0成立，若$a={4^{0.2}}f（{{4^{0.2}}}），b=（{{{log}_4}3}）f（{{{log}_4}3}），c=（{{{log}_4}\frac{1}{16}}）f（{{{log}_4}\frac{1}{16}}）$，則a，b，c的大小關(guān)系是c＞a＞b．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，令g（x）=xf（x），則a=g（4^0.2），b=g（log₄3），c=f（log₄$\frac{1}{16}$），由函數(shù)的奇偶性定義分析可得g（x）為偶函數(shù)，對(duì)g（x）求導(dǎo)可得g′（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，比較可得|log₄$\frac{1}{16}$|＞|4^0.2|＞|log₄3|，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，令g（x）=xf（x），則a=g（4^0.2），b=g（log₄3），c=f（log₄$\frac{1}{16}$）
有g(shù)（-x）=（-x）f（-x）=（-x）[-f（x）]=xf（x），則g（x）為偶函數(shù)，
又由g′（x）=（x）′f（x）+xf'（x）=f（x）+xf'（x），
又由當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，都有不等式f（x）+xf'（x）＞0成立，
則當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，有g(shù)′（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
分析可得|log₄$\frac{1}{16}$|＞|4^0.2|＞|log₄3|，
則有c＞a＞b；
故答案為：c＞a＞b．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，涉及函數(shù)奇偶性的性質(zhì)應(yīng)用，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)g（x）=xf（x）．