分析 (I)求出方差f(x)=0的根,解出b,c的值,從而求出f(x)的解析式;
(Ⅱ)求出2a=f(1)+f(-1)-2f(0),結(jié)合f(0),f(1),f(-1)的范圍,求出a的范圍即可;
(Ⅲ)分別求出a,b,c,表示出g(1),g(-1),結(jié)合一次函數(shù)的單調(diào)性證出結(jié)論即可.
解答 解:(I)∵$\frac{1}{x-2}$>1的解集是{x|2<x<3},
∴f(x)=0的兩根為2,3,
∴$\left\{\begin{array}{l}{f(2)=0}\\{f(3)=0}\end{array}\right.$,解得:b=-5,c=6,
∴f(x)=x2-5x+6;
(II)∵f(0)=c,f(1)=a+b+c,f(-1)=a-b+c,
∴2a=f(1)+f(-1)-2f(0),
又|x|≤1,|f(x)|≤1,
∴|f(1)|≤1,|f(-1)|≤1,|f(0)|≤1,
∴|2a|=|f(1)+f(-1)-2f(0)|≤|f(1)|+|f(-1)|+2|f(0)|≤4,
∴-2≤a≤2;
(III)∵f(0)=c,f(1)=a+b+c,f(-1)=a-b+c,
由$\left\{\begin{array}{l}{f(0)=c}\\{f(1)=a+b+c}\\{f(-1)=a-b+c}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}[f(1)+f(-1)]-f(0)}\\{b=\frac{1}{2}[f(1)-f(-1)]}\\{c=f(0)}\end{array}\right.$,
∴g(1)=λa+b=λ•$\frac{1}{2}$[f(1)+f(-1)]-λf(0)+$\frac{1}{2}$[f(1)-f(-1)]
=$\frac{λ+1}{2}$f(1)+$\frac{λ-1}{2}$f(-1)-λf(0),
g(-1)=-λa+b=(-λ)•$\frac{1}{2}$[f(1)+f(-1)]+λf(0)+$\frac{1}{2}$[f(1)-f(-1)]
=$\frac{1-λ}{2}$f(1)-$\frac{1+λ}{2}$f(-1)+λf(0),
∵λ>1,|f(1)|≤1,|f(-1)|≤1,|f(0)|≤1,
∴|g(1)|=|$\frac{λ+1}{2}$f(1)+$\frac{λ-1}{2}$f(-1)-λf(0)|≤$\frac{λ+1}{2}$+$\frac{λ-1}{2}$+λ=2λ
|g(-1)|=|$\frac{1-λ}{2}$f(1)-$\frac{1+λ}{2}$f(-1)+λf(0)|≤$\frac{λ-1}{2}$+$\frac{λ+1}{2}$+λ=2λ
g(x)是關(guān)于x的一次函數(shù),由一次函數(shù)的單調(diào)性得:當(dāng)|x|≤1時(shí),|g(x)|≤2λ.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì),考查不等式問(wèn)題,是一道中檔題.
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A. | 5 | B. | $\frac{16}{3}$ | C. | $\frac{22}{3}$ | D. | 8 |
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A. | y=2x-3 | B. | y=-2x+5 | C. | y=-x+3 | D. | y=x-1 |
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