Question

3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-2，0），（2，0）．直線AP，BP相交于點(diǎn)P，且它們的斜率之積是-$\frac{1}{4}$．記點(diǎn)P的軌跡為Г．
（Ⅰ）求Г的方程；
（Ⅱ）已知直線AP，BP分別交直線l：x=4于點(diǎn)M，N，軌跡Г在點(diǎn)P處的切線與線段MN交于點(diǎn)Q，求$\frac{|MQ|}{|NQ|}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，求得AP、BP所在直線的斜率，由斜率之積是-$\frac{1}{4}$列式整理即可得到Г的方程；
（Ⅱ）設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，得到AP、BP的方程，進(jìn)一步求出M、N的縱坐標(biāo)，再寫出橢圓在P點(diǎn)的切線方程，由判別式等于0得到過(guò)P的斜率（用P的坐標(biāo)表示），再代入切線方程，求得Q點(diǎn)縱坐標(biāo)，設(shè)$\overrightarrow{MQ}=λ\overrightarrow{NQ}$，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的關(guān)系即可求得λ，從而得到$\frac{|MQ|}{|NQ|}$的值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，y），則
直線AP的斜率${k}_{PA}=\frac{y}{x+2}$（x≠-2）；
直線BP的斜率${k}_{PB}=\frac{y}{x-2}$（x≠2）．
由已知有$\frac{y}{x+2}•\frac{y}{x-2}=-\frac{1}{4}$（x≠±2），
化簡(jiǎn)得點(diǎn)P的軌跡Г的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$（x≠±2）．
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁）（x₁≠±2），則$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+{{y}_{1}}^{2}=1$．
直線AP的方程為$y=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}（x+2）$，令x=4，得點(diǎn)M縱坐標(biāo)為${y}_{M}=\frac{6{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$；
直線BP的方程為$y=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}（x-2）$，令x=4，得點(diǎn)N縱坐標(biāo)為${y}_{N}=\frac{2{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$；
設(shè)在點(diǎn)P處的切線方程為y-y₁=k（x-x₁），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-{x}_{1}）+{y}_{1}}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得$（1+4{k}^{2}）{x}^{2}+8k（{y}_{1}-k{x}_{1}）x+4（{y}_{1}-k{x}_{1}）^{2}-4=0$．
由△=0，得$64{k}^{2}（{y}_{1}-k{x}_{1}）^{2}-16（1+4{k}^{2}）[（{y}_{1}-k{x}_{1}）^{2}-1]$=0，
整理得${{y}_{1}}^{2}-2k{x}_{1}{y}_{1}+{k}^{2}{{x}_{1}}^{2}=1+4{k}^{2}$．
將${{y}_{1}}^{2}=1-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}，{{x}_{1}}^{2}=4（1-{{y}_{1}}^{2}）$代入上式并整理得：$（2{y}_{1}k+\frac{{x}_{1}}{2}）^{2}=0$，解得$k=-\frac{{x}_{1}}{4{y}_{1}}$，
∴切線方程為$y-{y}_{1}=-\frac{{x}_{1}}{4{y}_{1}}（x-{x}_{1}）$．
令x=4得，點(diǎn)Q縱坐標(biāo)為${y}_{Q}={y}_{1}-\frac{{x}_{1}（4-{x}_{1}）}{4{y}_{1}}=\frac{4{{y}_{1}}^{2}-4{x}_{1}+{{x}_{1}}^{2}}{4{y}_{1}}$=$\frac{4（1-{x}_{1}）}{4{y}_{1}}=\frac{1-{x}_{1}}{{y}_{1}}$．
設(shè)$\overrightarrow{MQ}=λ\overrightarrow{NQ}$，則y_Q-y_M=λ（y_N-y_Q），
∴$\frac{1-{x}_{1}}{{y}_{1}}-\frac{6{y}_{1}}{{x}_{1}+2}=λ（\frac{2{y}_{1}}{{x}_{1}-2}-\frac{1-{x}_{1}}{{y}_{1}}）$．
∴$\frac{（1-{x}_{1}）（{x}_{1}+2）-6{{y}_{1}}^{2}}{{y}_{1}（{x}_{1}+2）}=λ\frac{2{{y}_{1}}^{2}-（1-{x}_{1}）（{x}_{1}-2）}{{y}_{1}（{x}_{1}-2）}$．
將${{y}_{1}}^{2}=1-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$代入上式，得$-2+\frac{{x}_{1}}{2}=λ（-2+\frac{{x}_{1}}{2}）$，
解得λ=1，即$\frac{|MQ|}{|NQ|}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、分類與整合思想等，是壓軸題．