Question

19．已知拋物線C的頂點在坐標(biāo)原點，準(zhǔn)線方程為x=-1，直線l與拋物線C相交于A，B兩點．若線段AB的中點為（2，1），則直線l的方程為（　�。�

• A． y=2x-3
• B． y=-2x+5
• C． y=-x+3
• D． y=x-1

Answer 1

分析 設(shè)出A，B的坐標(biāo)，代入拋物線方程，兩式相減，整理求得直線l的斜率，進而利用點斜式求得直線的方程．

解答 解：∵拋物線C的頂點在坐標(biāo)原點，準(zhǔn)線方程為x=-1，
∴-$\frac{p}{2}$=-1，
∴p=2，
∴拋物線的方程為y²=4x．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}^{2}=4{x}_{1}}\\{{y}_{2}^{2}=4{x}_{2}}\end{array}\right.$，兩式相減得：
（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
∴AB的斜率k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{4}{2}$=2，
從而直線AB的方程為y-1=2（x-2），即y=2x-3．
故選：A．

點評 本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)．涉及弦長的中點問題，常用“點差法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標(biāo)聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化．