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【題目】已知圓，直線.圓與軸交于兩點，是圓上不同于的一動點，所在直線分別與交于.

（1）當時，求以為直徑的圓的方程；

（2）證明：以為直徑的圓截軸所得弦長為定值.

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）討論點的位置，根據直線的方程，直線的方程分別與直線方程聯立，得出的坐標，進而得出圓心坐標以及半徑，即可得出該圓的方程；

（2）討論點的位置，根據直角三角形的邊角關系得出的坐標，進而得出圓心坐標以及半徑，再由圓的弦長公式化簡即可證明.

（1）由圓的方程可知，

①當點在第一象限時，如下圖所示

當時，，

所以直線的方程為

由，解得

直線的方程為

由，解得

則的中點坐標為，

所以以為直徑的圓的方程為

②當點在第四象限時，如下圖所示

當時，，

所以直線的方程為

由，解得

直線的方程為

由，解得

則的中點坐標為，

所以以為直徑的圓的方程為

綜上，以為直徑的圓的方程為

（2）①當點在圓上半圓運動時，取直線交軸于點，如下圖所示

設，則

則以為直徑的圓的圓心坐標為，半徑

所以以為直徑的圓截軸所得弦長為

②當點在圓下半圓運動時，取直線交軸于點，如下圖所示

設，則

則以為直徑的圓的圓心坐標為，半徑

所以以為直徑的圓截軸所得弦長為

綜上，以為直徑的圓截軸所得弦長為定值.

練習冊系列答案
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